Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.6. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

8.6.1. Замечания об операционном исчислении Хевисайда.

В 1893 г. английский физик О. Хевисайд в первый раз предложил способ вычисления, который назвал операционным. Сейчас мы покажем, что операционное исчисление, как его понимал Хевисайд, не отличается от только что изложенного способа, основанного на преобразовании Лапласа — Карсона. Точка зрения Хевисайда, который скорее руководствовался интуицией и физическим смыслом явлений, чем математической строгостью, состояла в следующем.

Хевисайд рассматривал знак дифференцирования как оператор Операция дифференцирования функции записывалась как

производная писалась как оператор прилагался раз к функции Оператор или представлял операцию интегрирования, так как оператор приложенный к снова давал

Формула, содержащая интегралы или дифференциалы, сводилась при рассмотрении в качестве алгебраической переменной к алгебраической форме. Это Хевисайд называл "алгебраизацией" задачи.

Особенно подробно Хевисайд рассматривал функцию ; функции всегда были равны нулю при

Можно заметить, что формулы (29) и (31) являются оправданием приема, состоящего в том, чтобы рассматривать соответственно как операторы дифференцирования и интегрирования. Можно показать, что, например, отождествление с оператором дифференцирования приводит к уже известным формулам.

Примеиив к оператор получим

но то же самое, что поэтому

Эту формулу можно сопоставить с полученной ранее формулой (34).

Для Хевисайда формула (преобразование Карсона) означала, что оператор примененный к дает в результате

Мы увидим, что точки зрения Карсона и Хевисайда совпадают. Рассмотрим формулу (143). Если допустить, что разлагается в целый ряд по а целый ряд по

то эти ряды совпадают, так как

Покажем, что полученные таким образом функции удовлетворяют интегральному уравнению Карсона. Требуется установить, что

Рассмотрим общий член правой части

Последовательное интегрирование по частям дает

Значит, равенство подтверждается, и точка зрения Хевисайда, выраженная равенством (143), совпадает с точкой зрения Карсона.

Нужно сознаться, что операционное исчисление до работ Карсона и Леви, которые дали ему незыблемое математическое основание, таило в себе множество ловушек. Небезопасно было обращаться с как с алгебраическим числом, и только гениальная интуиция Хевисайда позволяла ему обходиться без ошибок при вычислениях.

8.6.2. Обозначения в операционном исчислении.

В работах, посвященных операционному исчислению, для обозначения функционального соотношения между функциями применяются следующие обозначения. Преобразование Лапласа:

(А. И. Лурье, Г. Дёч, Ян Микусинский, В. А. Диткин и А. П. Прудников, Н. С. Пискунов).

(Н. С. Пискунов).

(А. Анго)

Преобразование Карсона:

(Ван дер Поль)

(А. И. Лурье).

(А. Анго)

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VIII

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление