Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.7. ФУНКЦИИ МАТЬЕ

Будем искать решения дифференциального уравнения

ограничиваясь случаем, когда переменная z и параметры вещественны.

7.7.1. Функции Матье первого рода.

Соображения, изложенные в конце п. 6.3.9, показывают особое значение периодических решений с периодом уравнения (164). Эти решения называются функциями Матье первого рода или функциями Матье. с целым индексом. Они существуют только при строго определенных значениях параметров причем возможные значения пар связаны зависимостью весьма сложного вида (см. пп. 7.7.3 и 7.7.4).

Предположим, что функции Матье первого рода существуют для значений стремящихся к нулю. Разумеется, параметр а при этом соответствующим образом изменяется. Пусть Тогда уравнение (164) сводится к уравнению

которое имеет периодические решения с периодом если а (0) равно квадрату целого числа Эти решения суть

Функциями Матье целого порядка называются -периодические относительно переменной z решения (164), стремящиеся соответственно к при стремящемся к нулю. Ясно, что функции Матье целого порядка зависят от двух переменных и индекса определенного выше.

Обычно эти функции обозначают с помощью символов или сокращенно

Формула, связывающая возможные значения параметров при фиксированном называется характеристическим уравнением, а соответствующий график — характеристической кривой. Для характеристическое уравнение можно записать в виде

для

Графики зависимостей (165) и (166) для различных приведены на рис. 7.55. Они дают сеть характеристических кривых функций Матье целого порядка. Можно показать, что эти кривые не имеют общих точек (разумеется, кроме точек на оси а, через которые проходят кривые Отсюда следует, что ни при каких значениях кроме отмеченного выше тривиального случая, не существует двух линейно независимых функций Матье первого рода. Поэтому для получения общего решения уравнения (164) приходится вводить функции Матье второго рода (см. п. 7.7.9).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление