Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3.12. Вычисление вычетов.

Рассмотрим сначала случай простого полюса. Пусть отношение двух голоморфных функций. Тогда Имеем

Следовательно,

Пример. Рассмотрим функцию Имеются два простых полюса: Применим предыдущую формулу:

Следовательно, сумма вычетов равна и

Здесь С — произвольная кривая, окружающая оба полюса, как показано на рис. 1.24, а.

Замечание 1. Можно последовательно изменять контур, окружающий оба полюса до тех пор, пока не останутся маленькие круги с центрами в полюсах, соединенные между собой бесконечно узким разрезом, берега которого проходятся в противоположных направлениях. При этой деформации интеграл сохранит свое значение (теорема Коши). Значения интегралов вдоль противоположных берегов разреза в силу однозначности функции взаимно компенсируют друг друга. Поэтому в качестве контура интегрирования можно брать совокупность отдельных замкнутых контуров, каждый из которых содержит один полюс функции (см. рис. 1.24, б, а также рис. 8.15).

Рис. 1.24.

Замечание 2. Указанный в начале этого пункта способ вычисления вычета в простом полюсе удобно несколько видоизменить. Очевидно,

Для раскрытия этой неопределенности типа применим правило Лопиталя:

Следовательно,

Замечание 3. Пусть простые полюса для . Тогда.

Рассмотрим функцию вида Легко убедиться, что этом случае

Пример 1. Найти сумму вычетов относительно полюсов, находящихся на вещественнной оси между

Так как при то имеем

Приведем способ вычисления вычетов относительно кратных полюсов.

Пример 2. Вычислить где малая окружность вокруг начала координат.

Разложим Для малых z имеем

Таким образом, в данном примере полюс второго порядка. Коэффициент при равен следовательно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление