Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.6.24. Ортогональность присоединенных функций Лежандра.

Покажем, что функции ортогональны в промежутке если — целые положительные числа. Помножим на дифференциальное уравнение (97), где заменено на Точно так же помножим на дифференциальное уравнение (97), где заменена на Разность полученных выражений дает

Следовательно,

На основании (148)

отсюда, интегрируя по частям, находим

Если учесть дифференциальное уравнение (97), которому удовлетворяет функция то получим последовательно

и, наконец,

Из формул (161) и (162) вытекает, что функции в промежутке можно разлагать в ряд по присоединенным функциям Лежандра первого рода.

Чтобы получить ортонормальную систему функций, мы должны ввести нормированные присоединенные функции Лежандра первого рода (см. рис. 7.51-7.54):

Отметим, что при разложении в ряд по полиномам Лежандра часто используются нормированные полиномы Лежандра

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление