Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.6.6. Представление полиномов Лежандра через определенный интеграл. Формула Лапласа.

Рассмотрим интеграл

В этой формуле положим

предполагая таким, что Разложим обе части полученного тождества по возрастающим степеням используя разложение (106) (считаем здесь, что Приравняв в обеих частях тождества коэффициенты при получим формулу Лапласа

Введенное выше ограничение можно отбросить. В самом деле, формула (108) представляет равенство между полиномами, так как интегралы от нечетных степеней равны нулю. Следовательно, (108) справедлива для всех комплексных z.

Если таково, что то обе части исходного тождества можно разложить по возрастающим степеням Приравнивая в обеих частях тождества коэффициенты при получим

Знак перед интегралом совпадает со знаком

7.6.7. Рекуррентные формулы.

Продифференцируем по обе части равенства

Тогда

или

Используем в левой части этого равенства формулу (110). Имеем

Приравнивая коэффициенты при получаем рекуррентное соотношение, связывающее три последовательных полинома Лежандра:

Продифференцируем уравнение (110) по z. Тогда

Если учесть равенство (111), то

и, приравнивая коэффициенты при получаем рекуррентное соотношение

Продифференцируем формулу (112):

Исключая из и (114), получаем рекуррентную формулу

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление