Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3.10. Разложение в ряд Лорана.

Дана функция имеющая полюс или существенно особую точку Если выделить эту точку маленькой окружностью у радиуса то функция становится голоморфной внутри круговой области, заключенной между у и окружностью с радиусом также имеющей центром а (рис. 1.23). Применим формулу Коши к контуру Обозначив через точку внутри кругового кольца, получаем

Рис. 1.23.

Оба криволинейных интеграла берутся в положительном направлении. Согласно соотношению (10) предыдущего пункта первый интеграл имеет вид

где в силу формулы (11)

Равенство (12) в данном случае использовать нельзя, так как голоморфна не во всех точках внутри

Второй интеграл вычисляем аналогично первому. Имеем

Так как то полученное выражение можно разложить в ряд и проинтегрировать:

где

Таким образом, получаем разложение в ряд Лорана

Коэффициенты определяются формулами (11) и (13).

Так как можно выбрать сколь угодно малым, то точка может быть сколь угодно близка к точке а. Следовательно, разложение в ряд Лорана представляет собой разложение в ряд функции вблизи полюса или существенно особой точки. Использование разложения в ряд Лорана позволяет более точно классифицировать полюсы и существенно особые точки.

Если в ряде Лорана имеется только конечное число коэффициентов типа то особая точка является полюсом для рассматриваемой функции.

Обозначим через наивысшую степень входящую в разложение Лорана. Число есть порядок полюса; если то полюс называется простым.

Если разложение Лорана содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями , то точка а является существенно особой точкой. Примеры. Дана функция

Найдем ее разложение в ряд Лорана вблизи полюса Имеем

Вблизи полюса имеем

Рассмотрим, далее, функцию Найдем ее разложение в ряд Лорана вблизи существенно особой точки Непосредственно получаем

Интегрирование по методу вычетов

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление