Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Дифференциальные уравнения, решение которых может быть выражено через решение дифференциального уравнения Бесселя

При решении различных задач уравнение Бесселя редко встречается в каноническом виде (13). Полезно уметь привести в тех случаях, когда это возможно, решение рассматриваемого уравнения к решению уравнения (13). Для упрощения записи полагаем

обозначив тем самым через общее решение уравнения (13).

7.5.36. Основные типы.

Уравнение

сводится к уравнению (13) путем замены переменных

Отсюда получаем общий интеграл

Рассмотрим в качестве примера дифференциальное уравнение

Мы приведем его к типу (89) при помощи замены функции

Имеем

Если выбрать таким образом, чтобы то предыдущее уравнение преобразуется к виду (89):

Отсюда общее решение уравнения (90) будет

Укажем несколько типов уравнений, общее решение которых строится при помощи бесселевых функций. Заменой переменной и функции их легко свести к каноническому виду (13). Для краткости мы ограничимся только приведением окончательных результатов. Уравнение

имеет общее решение

Уравнение (90) относится к типу (91) при Положим в (91) параметр а равным нулю. Уравнение

имеет общее решение

Если, кроме того, мы приравняем и напишем параметр с в виде уравнение (91) принимает вид

Оно имеет общее решение

Если в уравнении (91) приравнять то мы получим уравнение

общее решение которого имеет вид

Если, кроме того, то находим общий интеграл уравнения

который равен

Если в уравнении (91) параметр с положить равным нулю, то получим

Это уравнение имеет общее решение

Часто встречающееся дифференциальное уравнение

не что иное, как уравнение (95), в котором

Всюду в предыдущем предполагается, что . В частности, общие решения не годятся, если Если предположить то уравнение (91) получает вид

Это уравнение Эйлера Оно сводится, если положить к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами

Уравнение

при имеет общее решение

Если то легко заметить, что

представляют собой при два линейно независимых решения. Если оба эти интеграла превращаются в один, но легко проверить, что тогда выражение будет решением. В этом случае получаем общий интеграл в виде

Ниже указывается несколько видов дифференциальных уравнений, приводящих к особенно простым решениям. Они не входят в типы уравнений, приведенных выше. Уравнение

допускает в качестве общего решения

Отметим также следующие два частных случая предыдущего уравнения;

Пример. Найдем общий интеграл

Сопоставление с уравнением (91) дает

Отсюда, подставляя эти значения в (92), получаем искомый общий интеграл

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление