Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.4. ГАММА-ФУНКЦИЯ

7.4.1. Определение.

Гамму-функцию можно определить для всех вещественных или комплексных значений z с помощью бесконечного произведения

В этой формуле у обозначает постоянную Эйлера. Она определяется формулой

Очень возможно, что постоянная Эйлера — трансцендентное число, хотя это еще не доказано строго. Первые цифры ее равны

Хорошее приближение к дается простой формулой

Другое определение гамма-функции можно дать с помощью соотношения

Действительно, формулу (2) можно записать в виде

откуда

Умножим правую часть этой формулы на следующий множитель, равный единице:

Тогда

Заметив, что величина стремится к мы приходим к формуле (1). Отсюда вытекает справедливость формулы (2).

Можно также определить гамма-функцию через определенный интеграл:

Для доказательства сначала вычислим

Положим Тогда

Интегрируя по частям, получаем

Если то внеинтегральный член равен нулю. Поэтому 1 1

т. е.

Следовательно,

Переходя к пределу при получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление