Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.3. ФУНКЦИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБОК

7.3.1. Определение.

Функция вероятности ошибок определяется-интегралом

Рассмотрим функцию Гаусса

Она изображается кривой, представленной на рис. 7.9. Площадь, заключенная между кривой и осью абсцисс, равна единице. Действительно.

полагая имеем

Согласно формуле (3) из п. 7.4.1, получаем

что и требовалось доказать.

Площадь между кривой и осью абсцисс слева от абсциссы х обозначается через Следовательно,

Обе функции играют большую роль в теории вероятности. Первая из них часто используется при анализе возмущений, распространяющихся по линиям передачи. Полезно установить зависимость между функциями так как функция подробно затабулирована Если положить то

Так как

то

Рис. 7.9.

7.3.2. Разложение функции Ф(x) в степенной ряд.

Достаточно проинтегрировать разложение в ряд от нуля до х, чтобы получить степенной ряд

сходящийся при любом

7.3.3. Разложение в асимптотический ряд функции 1 - Ф(x)

Имеем

Положим

Повторно интегрируя частям, получаем

Отсюда

Отношение абсолютных величин двух последовательных членов равно Оно близко к единице, если близко к Ясно, что член асимптотического разложения соответствующий этому имеет наименьшую абсолютную величину. Именно на нем и следует остановиться, чтобы получить наименьшую ошибку при вычислении

Замечание. В примере 3 п. 2.2.8 мы показали, что функция Гаусса представленная на рис. 7.9, обладает свойством быть своей собственной трансформантой Фурье. Поэтому понятна та важная роль, которую она играет при изучении спектра сигналов и диаграмм направленности источников радиоволн.

7.3.4. Выражение функции 1 - Ф(x/2) через интеграл Коши.

В разложении функции в степенной ряд заменим х на Получаем

Согласно результатам п. 7.4.3, имеем ( целое)

Это дает возможность написать

Согласно формуле (10) п. 7.4.5. (см. также рис. 7.12),

Отсюда

и

Функция удовлетворяет условиям леммы Жордана

Поэтому мы можем также написать

7.3.5. Таблица функции ...

(см. скан)

7.3.6. График функции ...

Рис. 7.10.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление