Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.3.5. Уравнение Лапласа.

Это уравнение вида

В задачах о распространении волн часто встречается уравнение вида

В этом случае, разлагая искомую функцию в ряд по синусоидальным функциям времени, члены которого имеют вид

мы придем для функции к уравнению Гельмголыи

Стоящая перед инженером задача заключается не в отыскании общего решения уравнения (31) или (32). Ему нужно найти такое конкретное решение, которое удовлетворяет на некоторых поверхностях определенным граничным условиям. В качестве граничных условий могут быть заданы значения функции (задача Дирихле) или ее производной по некоторому направлению (задача Неймана). Эти значения могут быть либо известными постоянными, либо, чаще всего, известными функциями координат.

Решение задачи существенно упрощается, если рассматривать ее в системе ортогональных криволинейных координат, для которой заданные поверхности входят в семейство (или в несколько семейств) координатных поверхностей.

Пусть координаты выбранной системы. Естественно частный интеграл уравнения (31) или (32) искать в виде

в котором каждая из функций в зависит только от одной координаты Этот частный интеграл будем называть произведением Лапласа.

Функции содержат произвольные постоянные. Линейный характер уравнений (31) и (32) показывает, что эти уравнения удовлетворяются некоторой конечной или бесконечной, дискретной или непрерывной суммой произведений Лапласа, в которых произвольные постоянные принимают все возможные значения. Кроме того, в этой сумме каждое произведение Лапласа может сопровождаться првизвольным коэффициентом. Искомым решением будет такая сумма произведений Лапласа, в которой произвольные коэффициенты принимают значения, обеспечивающие выполнение граничных условий.

Таким образом, решение уравнений (31) и (32) сводится к следующей задаче: найти произведения Лапласа в рассматриваемой ортогональной системе криволинейных координат. Выражения для произведений Лапласа, полученные в следующих пунктах, позволяют также найти решение некоторых часто встречающихся дифференциальных уравнений, например дифференциального уравнения для функции Бромвича (формула (87) п. 6.3.13).

Известно (п. 3.4.2), что в системе ортогональных криволинейных координат, где квадрат элемента длины равен

лапласиан имеет вид

Здесь обозначают локальные единицы длины. В такой системе уравнения (31) и (32) имеют вид:

В рассматриваемых ниже различных системах координат мы будем искать произведения Лапласа, удовлетворяющие уравнению (34). Из них, полагая мы получим произведения Лапласа, удовлетворяющие уравнению (33). Для некоторых менее употребительных систем координат мы ограничимся рассмотрением одного только уравнения (33).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление