Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.3.3. Уравнение колебаний струны.

Рассмотрим сначала уравнение

Получаем

а затем

иначе говоря

Здесь обозначают две произвольные функции. Обратимся теперь к уравнению колебаний струны

Произведем замену переменных, положив Тогда нетрудно показать, что это уравнение принимает вид

Отсюда

и, возвращаясь к прежним переменным,

Рассмотрим частный случай, полагая

Соответствующее решение будет

Покажем, как можно применить полученное решение к задачам из теории электричества.

Рассмотрим полностью изолированный линейный проводник, омическим сопротивлением которого будем пренебрегать (рис. 6.1). Положение произвольной точки этого проводника определяем криволинейной абсциссой . Пусть — криволинейная абсцисса точки В.

Рис. 6.1.

Обозначим через соответственно силу тока и потенциал в точке в Момент времени Если переместиться по проводнику на единицу длины, то падение напряжения будет вызвано самоиндукцией рассматриваемого участка. Отсюда получаем

Точно так же изменение силы тока на единицу длины будет вызвано тем, что часть тока будет шунтирована емкостью рассматриваемого участка. Отсюда

Дифференцируя уравнения (29) и (30) соответственно по и исключив функцию V, получим

Будем считать, что для любого момента времени сила тока равна нулю на концах проводника:

а при

где известная функция, удовлетворяющая условиям

Легко видеть, что решение поставленной задачи может быть удовлетворено суперпозицией полученных выше частных решений волнового уравнения, т. е.

Действительно, граничные условия удовлетворяются, так как при При получаем

Решение удовлетворяет начальному условию, если коэффициенты вычисляются по формуле

т. е. являются коэффициентами Фурье для функции

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление