Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО

Общий вид дифференциального уравнения порядка выше первого

Решить это уравнение в квадратурах можно лишь в исключительно редких случаях. Иногда удается понизить порядок уравнения, что существенно облегчает решение.

Случаи понижения порядка уравнения

6.2.1. Уравнение не содержит явно функцию у.

Достаточно ввести новую функцию и порядок уравнения понижается на единицу. Если, кроме того, в уравнении (4) отсутствуют производные то, полагая мы снизим порядок уравнения на единиц.

6.2.2. Уравнение не содержит явно независимой переменной х.

В этом случае примем у за новую независимую переменную, а за новую функцию. Получим

Дифференциальное уравнение (4) принимает вид

Порядок уравнения (4) снизился на единицу.

6.2.3. Уравнение, однородное относительно ...

Положим

Отсюда

Подставим эти выражения в уравнение (4). Вследствие однородности относительно функция будет общим множителем членов уравнения. После сокращения на новое дифференциальное уравнение уже не будет содержать явно функцию z. Мы приходим, таким образом, к случаю, рассмотренному в п. 6.2.1.

6.2.4. Уравнение, однородное относительно х и dx.

Положим

Отсюда

Подставим эти выражения в уравнение (4). Вследствие однородности относительно множители исчезают. Поэтому новое дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной z, и мы приходим к случаю, рассмотренному в п. 6.2.2.

6.2.5. Уравнение, однородное относительно ...

Положим , где новая функция. После этой замены уравнение (4) становится однородным относительно Мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в предыдущем пункте.

6.2.6. Общий случай однородного уравнения.

Будем считать величинами первого измерения, а измерениями порядка

Тогда будет порядка порядка и т. д.

Так же как и в предыдущем случае, мы приходим к дифференциальному уравнению, рассмотренному в п. 6.2.4, путем следующей замены функции:

Пример. Решим уравнение

Оно, очевидно, принадлежит к рассмотренному типу при Положим

Отсюда

Уравнение (5) принимает вид

т. е. становится однородным относительно (см. п. 6.2.4). Полагаем

отсюда

Подставляя в уравнение (6), получаем

Уравнение (7) не содержит в явном виде переменной z. Положим

Тогда

и уравнение (7) принимает вид

Переменные разделяются, и z выражается с помощью эллиптического интеграла.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление