Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.5.14. Плоские волны.

Рассмотрим простой случай распространения плоских волн. Этот случай особенно важен практически. В самом деле, кристаллы кварца, употребляемые для определения частот или как фильтры, имеют почти всегда форму тонких пластин. А при такой форме упругие колебания сводятся главным образом к плоским волнам, параллельным плоскостям пластины.

Плоскость определяется компонентами единичного вектора перпендикулярного к ней, и расстоянием до плоскости от начала координат (нормальное уравнение плоскости). Все точки любой плоскости, содержащей рассматриваемую плоскую волну, движутся в одинаковой фазе, иначе говоря, их положение зависит только от переменной (времени) и от переменной (расстояния до плоскости от начала координат). В этом случае

Уравнение движения принимает вид

где общая компонента симметричного тензора , который получится, если обозначить

Если одно из собственных значений матрицы (в силу симметрии ее собственные значения вещественны, а собственные направления взаимно перпендикулярны), то

иными словами,

При этом уравнение движения приобретает форму уравнения колебаний упругой нити

Если определить направление перемещения и с помощью единичного вектора этого направления (не зависящего от тензоров и зависящего только от ):

то получим

при этом имеет место распространение плоской волны со скоростью

Так как характеристическое уравнение, определяющее собственные значения матрицы представляет собой уравнение третьей степени

то в направлении вектора с компонентами распространяются три плоские волны, соответствующие трем корням этого уравнения со скоростями — Каждая из этих волн создается движением частиц в направлении, определяемом вектором но. Все три направления, отвечающие корням взаимно перпендикулярны. Движение любой частицы рассматриваемой плоскости является результирующей трех движений, определенных указанным выше способом.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление