Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Пьезоэлектричество

5.5.10. Электрическая поляризация.

Механическая деформация может вызвать в кристалле электрическую поляризацию (пьезоэлектричество), которая в первом приближении пропорциональна этой деформации.

Если —вектор поляризации, то три уравнения для его проекций на оси координат 1, 2, 3 запишутся в виде

Эта формула вводит тензор третьей валентности, симметричный относительно индексов в силу чего число его независимых компонент сокращается с 27 до 18.

Используя линейные соотношения, связывающие напряжения с деформациями, можем написать

Это соотношение определяет новый тензор 8, который называется пьезоэлектрическим тензором. Как и тензор это тензор третьей

валентности, симметричный относительно индексов независимыми компонентами.

Если поместить кристалл в электрическое поле то деформации будут в первом приближении пропорциональны составляющим напряжения электрического поля по осям координат при этом получим шесть соотношений:

Тензор определяемый последним выражением, тот же, что и предыдущий, поскольку положение индексов в случае прямоугольной системы координат не имеет значения. Это можно показать, используя закон сохранения энергии.

Формулы преобразования компонент тензоров для случая преобразования прямоугольной системы координат, определяемого матрицей а, будут

и

причем

Можно также, вместо того чтобы пользоваться формулами тензорного преобразования, использовать шестимерное пространство При этом тензор становится вектором 5 с шестью составляющими. Получим

Тензор третьей валентности будет представлен в пространстве прямоугольной матрицей с 18 элементами. Так как последнее выражение связывает вектор трехмерного пространства с вектором 5 шестимерного пространства формула для преобразования компонент тензора отвечающего преобразованию координат, определяемому матрицей а, будет иметь вид

Если использовать преобразование, соответствующее характеру симметрии кристалла, то матрицы будут равны между собой. При этом число независимых компонент уменьшится. Для того чтобы вернуться к обозначениям, отвечающим первоначальному пространству следует использовать соответствие индексов, а именно

иначе говоря,

Такое же вычисление можно проделать для тензора 8, который в пространстве представляется прямоугольной матрицей с 18 элементами.

Пример. Рассмотрим кристалл прямоугольно-ромбического типа, характеризуемого тремя взаимно перпендикулярными осями симметрии второго

порядка. Примем оси симметрии кристалла за оси координат. Поворот на угол те вокруг оси 3 характеризуется матрицей

Применение формулы

приводит к равенству

откуда получается первое упрощение матрицы :

Поворот на угол те вокруг оси осуществляется с помощью матриц

Применение формулы

к упрощенной после поворота вокруг оси 3 матрице приводит к равенству

откуда получаем окончательный результат

Единственные не равные нулю компоненты тензора 8 в рассматриваемой системе координат в пространстве это

Следует учесть, что в матрице индекс строки отвечает пространству а индекс столбца — пространству

Такое же вычисление приводит к выводу, что не равными нулю компонентами тензора являются

Деформации, соответствующие компонентам представляют собой только деформации скольжения.

Итак, квадратная пластина сегнетовой соли (относящейся к кристаллам рассматриваемого типа), вырезанная параллельно двум осям симметрии второго порядка, не обнаружит никакой электрической поляризации при сжатии, за исключением случая сжатия вдоль направления диагонали квадрата. Если поместить эту пластину в электрическое поле, направление напряжения которого перпендикулярно плоскости пластины, то она не будет испытывать ни растяжения, ни сжатия, но примет форму ромба.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление