Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Механические свойства кристалла

Применим принципы, изложенные выше в связи с изучением диэлектрических свойств кристаллов, к исследованию напряжений и деформаций среды, а также их связи с электрической поляризацией (т. е. с пьезоэлектричеством).

5.5.4. Напряжение.

Вырежем мысленно в твердом теле небольшой тетраэдр, три грани которого параллельны координатным плоскостям. Установим условия равновесия этого объема.

Обозначим через напряжения (т. е. силы, приложенные к единице поверхности) на гранях тетраэдра параллельных координатным плоскостям, а через напряжение на четвертой грани. Будем считать напряжения положительными, если они направлены от плоскостей тетраэдра

наружу. Если величины представляют собой соответственно площади граней тетраэдра, то одно из условий равновесия выражается векторным равенством

Если обозначить через составляющие единичного вектора внешней нормали к плоскости четвертой грани тетраэдра, то

Если компоненты векторов по осям 1, 2, 3 обозначить соответственно через то указанное векторное условие равновесия получит следующую скалярную форму:

Эти соотношения определяют тензор с общей компонентой который называется тензором напряжений.

Второе условие равновесия тетраэдра состоит в равенстве нулю главного момента приложенных к нему внешних сил. Использование этого условия приводит к равенству тангенциальных составляющих напряжений:

Следовательно, тензор симметричен и имеет шесть независимых компонент.

5.5.5. Деформации.

Рассмотрим в твердом теле малый отрезок проекции концов которого на координатную ось I обозначим через Деформируем каким-либо способом твердое тело. Тогда отрезок перейдет в начальная точка этого отрезка переместится на величину и таким образом, после деформации координаты концов отрезка будут

Величина является непрерывной функцией координат Поэтому можно написать

откуда

йгде обозначено:

В случае малых деформаций можно пренебречь членами второго порядка малости; тогда

Величины образуют тензор с общей компонентой который называется тензором деформации. Тензор деформации также симметричен, так как и имеет шесть независимых существенных компонент.

Можно показать, что компоненты, расположенные по главной диагонали представляют собой деформации, параллельные оси Иными словами, это растяжение вдоль оси I при положительных или сжатие при отрицательных Остальные компоненты представляют собой

изменение, которое претерпевает при деформации угол, стороны которого были первоначально параллельны осям

Известно, что тензору можно придать диагональную форму, приняв за оси координат собственные направления представляющей его матрицы. В случае симметричной матрицы собственные направления ортогональны. Если указанным образом преобразовать тензор деформации, то он примет вид

Это не означает, что тензор деформации зависит только от трех не равных нулю компонент так как остальные три компоненты первоначального тензора были использованы для определения направлений собственных осей при преобразовании тензора к диагональной форме.

Шаровидный элемент твердого тела, имеющий радиус становится после деформации эллипсоидом с тремя неравными осями. Направления этих осей совпадают с собственными направлениями матрицы, а их длины равны

5.5.6. Тепловое расширение.

Таким же образом можно рассматривать деформацию, возникающую вследствие теплового расширения. Если температура твердого тела изменяется от до то вектор с началом в точке О и с проекциями претерпит растяжение, в результате которого его проекции изменятся на величины

Если а — тензор теплового расширения, то

Этому симметричному тензору можно придать диагональную форму

Шар радиуса станет после расширения эллипсоидом, оси которого совпадают с собственными направлениями матрицы; длины осей равны

Коэффициент расширения в направлении, задаваемом углами будет представлять собой компоненту тензора с, который определяется равенством

5.5.7. Обобщенный закон Гука.

В одномерной среде (нить) закон Гука устанавливает зависимость между напряжением и деформацией:

Коэффициент пропорциональности называется модулем упругости.

Для трехмерной среды (изотропной или неизотропной) эта зависимость в случае малых деформаций превращается в следующее тензорное соотношение:

где тензор четвертой валентности. Действительно, свертывание произведения этого тензора на тензор второй валентности приводит к тензору второй валентности Тензор называется тензором модулей упругости.

Так как тензоры симметричны, то тензор также симметричен по отношению к обеим парам своих индексов Следовательно, число его независимых компонент сократится с 81 до 36. Кроме того, поскольку в данном случае не различаются ковариантность и контравариантность (прямоугольные оси), то

что в самом общем случае сократит число независимых компонент до 21.

Систему (24) можно решить относительно величин при этом получим

Тензор с, имеющий по тем же соображениям, что и тензор компоненту, называется тензором коэффициентов упругости.

Наличие симметрии в кристалле значительно уменьшает число независимых компонент. При этом следует использовать метод, изложенный выше. Примем одну из осей симметрии за ось координат, осуществим надлежащий поворот, определяемый матрицей а, а затем приравняем элементы матрицы, отнесенной к старой системе координат поворота), элементам матрицы отнесенной к новой системе координат (после поворота). Это приведет нас к системе уравнений следующего вида:

Так как речь идет о прямоугольной системе координат, то между матрицами существует соотношение

Пример. Рассмотрим кубический кристалл, имеющий три взаимно перпендикулярные оси симметрии четвертого порядка. Примем за ось 3 одну из осей симметрии, а за оси и 1 — две другие.

Матрица, определяющая поворот на 90° вокруг оси 3, равна

Отличные от нуля члены:

Вследствие простоты матрицы а, которая содержит. только по одному не равному нулю члену в каждой строке и в каждом столбце, знак суммы, имеющийся в общей формуле, исчезает.

Произведения, содержащие по одному разу а или приводят к равенству компонент, имеющих одинаковую абсолютную величину и противоположные знаки; следовательно, эти компоненты равны нулю. Произведения, совсем не содержащие или содержащие по два раза или приводят к равенству соответствующих компонент. Например,

Если произвести такой же расчет для поворотов на 90° вокруг двух других осей, то окажется, что не равны нулю только следующие составляющие:

Отсюда следует, что для кристалла кубического типа тензор модулей упругости имеет только три независимые существенные компоненты.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление