Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.5.2. Диэлектрические свойства кристалла.

Сравним соотношения, связывающие напряженность электрического поля и электромагнитную индукцию в некоторой точке, для изотропного и анизотропного тел.

В первом случае оба вектора имеют одинаковое направление, и связывающая их диэлектрическая проницаемость представляет собой скаляр:

Для анизотропной среды связь между этими векторами гораздо сложнее. Векторы имеют уже различные направления, их составляющие связаны линейными соотношениями, заменяющими пропорциональность, имевшую место в первом случае. Здесь мы получим три равенства (трехмерное пространство):

Эти формулы (свернутое произведение), определяющие вектор, показывают, что есть тензор второй валентности. Так как в декартовом пространстве понятие вариантности не имеет смысла, то тензор не является смешанным. Этот симметричный тензор есть тензор диэлектрической проницаемости.

Он имеет шесть существенных компонент, знание которых необходимо для установления диэлектрических свойств кристалла. Действительно, если нам требуется найти значение диэлектрической проницаемости в направлении, определяемом углом , который оно составляет с осью 3, и углом который его проекция на плоскость образует с осью 1 (сферические координаты), то достаточно осуществить два последовательных поворота на углы и , приводящие к совпадению оси 1 с этим направлением.

Поворот против часовой стрелки на угол вокруг оси 3 и последующий поворот по часовой стрелке на угол вокруг нового положения оси определяется матрицей преобразования координат, которая является произведением двух матриц, описывающих оба поворота, а именно:

В определенной таким образом новой системе координат тензор диэлектрической проницаемости, представленный матрицей задается формулой

Компонента этого тензора есть искомое значение диэлектрической проницаемости в требуемом направлении.

Вследствие имеющейся в кристалле симметрии число независимых компонент тензора уменьшается.

Действительно, рассмотрим, например, кристалл с осью симметрии порядка. Если его повернуть на угол вокруг этой оси, то в новом положении кристалл ничем не отличается от кристалла, находящегося в прежнем положении. Если а — матрица, определяющая этот поворот, то

Равенство матриц входящих в обе части этого соотношения, накладывает на компоненты несколько условий, вследствие чего уменьшится число независимых компонент. В частности, нередко встречающееся условие приводит к результату:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление