Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.2.13. Случай криволинейных координат.

Пусть дана прямолинейная и прямоугольная система координат в трехмерном пространстве и пусть координаты произвольной точки в этой системе.

Расстояние между двумя бесконечно близкими точками определяете» формулой

Перейдем к наиболее общей системе криволинейных координат при помощи формул

Здесь - локальные единицы длины, отложенные соответственно по касательным к криволинейным осям, проходящим через точку О (рис. 5.7).

Рис. 5.7.

Элементы фундаментального метрического тензора, которые в старой системе координат равны

становятся в новой системе равными

Записывая подробно, получим

Следовательно,

Рис. 5.8.

Рассмотрим теперь вектор с координатами в старой системе, в которой не различаются контравариантность и ковариантность, а также с ковариантными координатами и с контравариантными координатами в новой системе. Спроектируем ортогонально этот вектор на касательную к координатной линии проходящей через точку О. Обозначим полученную проекцию через (рис. 5.8).

Проведем через точку конец вектора плоскость, параллельную плоскости, касательной к координатной поверхности, не содержащей линии Пусть точка пересечения этой плоскости с касательной

Имеем

В итоге получаем

Это хорошо согласуется с результатом, полученным для более частного случая прямолинейной косоугольной системы координат.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление