Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.1.12. Свертывание тензора.

Пусть дан тензор с ковариантными и контравариантными индексами. Можно получить из него другой тензор с валентностью, на две единицы меньшей. Для этого нужно приравнять один из ковариантных индексов какому-нибудь контравариантному, иначе говоря, поставить условие, чтобы эти два индекса имели всегда одинаковые значения, и затем просуммировать компоненты тензора по совпадающему индексу. Эту операцию называют свертыванием тензора.

Рассмотрим для примера тензор третьей валентности Поставим условие, чтобы было и просуммируем компоненты тензора по совпадающему индексу Получим

где элементы тензора первой валентности (в данном случае контравариантного вектора). Действительно, формула преобразования тензора имеет вид

Произведя операцию свертывания тензора получим

Но известно, что

Следовательно,

Видим, что формулы преобразования представляют собой формулы преобразования тензора (в данном случае контравариантного вектора).

Это доказательство можно без труда обобщить на тензоры более высокой валентности. В частном случае смешанного тензора второй валентности свертывание тензора дает скаляр

Свертыванием получен тензор нулевой валентности. Отсюда следует, что сумма компонент главной диагонали смешанного тензора второй валентности

инвариантна. При полном свертывании любого тензора по всем индексам получается инвариант.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление