Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.1.4. Определение тензора.

Скалярная величина является тензором нулевой валентности и имеет только одну компоненту. Вектор является тензором первой валентности и имеет компонент. Этот тензор может быть либо ковариантным — при этом его компоненты должны обозначаться через либо контравариантным — тогда его компоненты должны обозначаться через

Тензор второй валентности имеет компонент. Существует три типа тензоров второй валентности:

дважды ковариантный тензор, общая компонента которого может быть записана в виде

дважды контравариантный тензор, общая компонента которого может быть записана в виде

смешанный тензор — один раз ковариантный, один раз контравариантный, — общая компонента которого может быть записана в виде

Компоненты тензора второй валентности могут быть расположены в виде квадратной таблицы. Ниже мы увидим, что между тензором и матрицей имеется сущэственная разница. Часто для указания того, что элементы, входящие в таблицу, являются тензорными, таблицу заключают в круглые скобки:

или сокращенно

Тензор третьей валентности имеет компонент, которые могут располагаться в виде кубической таблицы. Существует четыре типа тензоров третьей валентности:

Произвольная компонента наиболее общего тензора запишется в виде

ковариантными и контравариантными индексами. Сумма валентность тензора, имеющего компонент. Это не означает, что "математический объект", состоящий из элементов, является -валентным тензором в -мерном пространстве. Определение тензора дается с помощью формул преобразования координат.

Пусть произвольная компонента -валентного тензора, раз ковариантного и раз контравариантного в некоторой системе координат, а соответствующая компонента того же тензора в любой системе координат.

Если компонента тензора, то преобразование компоненты в компоненту происходит по формуле

Наличие ковариантных и контравариантных индексов влечет за собой введение множителей множителей Обратное преобразование имеет вид

Если преобразование и обратно не подчиняется этим формулам, то не является тензором. Однако выяснение вопроса о том, является ли данная совокупность элементов тензором, путем установления применимости или неприменимости приведенных формул преобразования координат — длинная и сложная операция. Ниже мы рассмотрим более быстрый способ выяснения этого вопроса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление