Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2.20. Расчет свободных колебаний цепи.

Вычисление частот. Пусть дана цепь. Сопротивление контура I этой цепи обозначим Сопротивление связи контуров обозначим через (см. пп. 1.2.8 и 5.4.1).

Предположим, что электродвижущая сила отсутствует. Тогда

Положим, что

Система (32) в матричной форме запишется так:

Сопротивление имеет вид

Предположим, что сопротивление чисто реактивное, т. е. Пусть

Тогда матричное уравнение, дающее частоты собственных колебаний цепи будет иметь вид

или после умножения на

Это матричное обобщение известной формулы

Положим

Тогда система (32) будет

Определитель первой матрицы должен быть равен нулю:

Это означает, что величины представляют собой собственные значения матрицы

Уравнение (33) может быть очень высокого порядка. В таком случае естественно пользоваться методом решения, изложенным в п. 4.1.39. Этот метод дает последовательные значения корней, начиная с наибольшего. Отсюда следует, что вычисление самых низких частот, отягощенное всеми ошибками, сделанными при вычислении предыдущих частот, может привести к недостаточно точному результату. Во избежание этого достаточно умножить исходное матричное уравнение не на а на Тогда

Рис. 4.33.

Это показывает, что собственное значение матрицы

Матричное решение характеристического уравнения для начнется с наибольшего значения т. е. с самой низкой частоты.

Вычисление амплитуд. Амплитуды токов, соответствующих частоте в различных контурах, можно вычислить, решая однородную систему

Она дает величины, пропорциональные искомым амплитудам, иначе говоря, координаты собственного направления, соответствующего Применение способа, изложенного в п. 4.1.39 при отыскании собственного значения наибольшего модуля, приводит нас к вычислению приближенного значения предела для Известно, что такой предел представляет собой

собственное направление, соответствующее собственному значению наибольшего модуля. Мы получим, таким образом, величины, пропорциональные Приведем пример Пайпса. Даны два колебательных контура, соединенные третьим (рис. 4.33) при следующих численных данных:

Имеем

Выберем вектор

Отыщем собственные значения следующей матрицы:

Достаточно умножить затем найденные значения на , чтобы получить собственные значения

Вычисляем последовательно:

Отсюда

Амплитуды будут пропорциональны 0,25; 0,58 и 1.

Далее, легко определить а по ним и соответствующие им амплитуды.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление