Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.1.42. Решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим следующую систему, к которой всегда можно привести любую линейную систему первого порядка:

Обозначив через операцию дифференцирования, мы можем записать систему при помощи матричных обозначений:

или

Рассмотрим сначала случай, когда Пусть дано уравнение и поставлены начальные условия: при Тогда

Это интегральное уравнение может быть решено последовательным приближением (метод Пикара). Пусть оператор, определяющий операцию Имеем

Подставляя это значение у в правую часть уравнения, последовательно получаем:

и т. д. В результате имеем

Этот ряд быстро сходится.

Аналогично поступим с матричным уравнением

Начальные условия: в момент времени

Интегральное уравнение задачи имеет вид

Решая это уравнение последовательным приближением, получим

Обозначим через оператор, определенный следующим образом:

Назовем его оператором интегрирования. Результат операции произведенной над матрицей равен

Мы можем достаточно долго продолжать вычисления, чтобы обеспечить любую наперед заданную точность.

Итак, решение системы имеет вид

Заметим, что с помощью оператора интегрирования можно сразу же; написать

Если дифференцировать по то находим

Если элементы матрицы постоянные, то

так как в этом случае

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление