Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.1.32. Собственные значения и собственные направления эрмитовой матрицы.

Все собственные значения эрмитовой матрицы вещественны, а собственные направления ортогональны. Докажем это.

Эрмитова матрица характеризуется равенством

Пусть и — собственный вектор, соответствующее собственное значение. Тогда

Умножим обе части уравнения на

Применим операцию к обеим частям равенства

Раскрывая скобки и замечая, что операция для числа означает переход к комплексно-сопряженному значению, имеем

потому что Так как, кроме того, то

но а поэтому

Следовательно, к —k. Это доказывает, что -вещественное число.

Покажем также, что собственные векторы ортогональны. Даны два различных собственных значения и два соответствующих им собственных вектора Имеем

Умножаем соответственно на и

Применим операцию к обеим частям равенства (9):

Так как а , то соотношение (11) принимает вид

Сравнивая с (10), получаем

Так как к а это доказывает, что оба вектора ортогональны.

Замечание. Отсюда следует, что и для симметричной матрицы -ные направления ортогональны, так как такая матрица представляет собой частный случай эрмитовой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление