Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.1.28. Собственные значения, собственные векторы и характеристическое уравнение матрицы.

Дана матрица и вектор, отличный от нуля, представленный матрицей и. Если вектор и таков, что преобразования, которые выполняет над ним матрица а, сводятся к удлинению или сжатию, то он называется собственным вектором, его направление — собственным направлением и коэффициент его удлинения или сжатия X — собственным значением матрицы а. Это имеет место, если

или

Напишем это равенство в развернутом виде. Имеем соотношений

Так как по крайней мере одна из величин отлична от нуля, то определитель системы однородных линейных уравнений равен нулю:

Раскрыв определитель, получаем уравнение для вычисления собственных значений Оно называется характеристическим уравнением матрицы а.

Корень подставленный в систему уравнений, позволяет вычислить собственный вектор, иначе говоря, собственное направление, отвечающее этому собственному значению Пример. Дана матрица

Ее характеристическое уравнение

Оно имеет корни

Найдем собственное направление, соответствующее Подставляя в систему, получим

Определитель этой системы равен нулю. Поэтому можно отбросить последнее уравнение и решать полученную систему по отношению к произвольной переменной, например,

Отсюда и получаем собственное направление для

Таким же образом можно найти собственные направления для

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление