Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.1.22. Ортогональное преобразование.

Нам нужно определить матрицу преобразования , с помощью которого пространство, отнесенное к ортогональным осям координат, преобразуется в новое пространство, также отнесенное к ортогональным осям. Для этого достаточно, чтобы при таком преобразовании сохранились длины векторов.

Пусть задан вектор, представляемый в прежнем пространстве матрицей и квадрат его модуля равен . В новом пространстве, где тот же вектор выражен через матрицу этот квадрат будет равен Следовательно,

Но

поэтому

т. е.

Итак, матрица о выражает ортогональное преобразование, если транспонированная по отношению к ней матрица совпадает с обратной.

Рассмотрим два вектора, представленные в некоторой системе координат матрицами и Матрица а связывает проекции этих векторов на оси координат.

Преобразуем систему координат с помощью матрицы о. Тогда координаты обоих векторов образуют в новой системе матрицы Отыщем матрицу связывающую новые координаты этих векторов:

В матричных обозначениях имеем

Уножим обе части последнего равенства слева на Тогда

откуда

Если преобразование о ортогонально, то В этом случае

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление