Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.1.19. Обратная матрица.

Рассмотрим матрицу а, преобразующую вектор и в вектор

Иначе говоря, речь идет о таблице коэффициентов, входящих в линейных соотношений

Рассмотрим матрицу , определяющую обратное преобразование от нового вектора к прежнему вектору и

иначе говоря, таблицу коэффициентов, входящих в следующие линейные соотношения:

Матрица [3 называется обратной по отношению к матрице а и обозначается через

Коэффициенты системы соотношений (2) можно получить из системы (1), решив ее относительно Они могут быть вычислены по известной формуле Крамера:

Здесь — определитель матрицы - алгебраическое дополнение соответствующего элемента т. е. определитель, который получают, вычеркивая в строку и столбец, пересекающиеся на элементе снабженный

множителем Следует обратить внимание на то, что элемент находящийся на пересечении строки и столбца в соответствует а минору относящемуся к элементу который находится на пересечении строки I и столбца На практике вычисление матрицы, обратной а, осуществляется так:

1. Выписывают матрицу а, транспонированную по отношению к а.

2. Заменяют каждый элемент матрицы а определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на которых расположен данный элемент.

3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус — в противном случае.

4. Делят полученную матрицу на определитель матрицы а. Пример. Требуется вычислить матрицу, обратную

Матрица а будет

Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца:

Переменим знаки у элементов с нечетной суммой индексов. Тогда

Разделим на Таким образом, получаем

Матрица, обратная матрице произведения двух матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке, т. е.

Действительно, рассмотрим произведение . В силу ассоциативности операции умножения Обозначая и учитывая, что находим

Это правило непосредственно распространяется и на произведение любого числа матриц:

Замечания. 1. При вычислении обратной матрицы предполагается, что определитель матрицы отличен от нуля, иначе говоря, что матрица невырождена: В противном случае определить обратную матрицу невозможно.

Сказанное относится и ко всем не квадратным матрицам. Их можно всегда сделать квадратными, прибавив необходимое число нулей, но тогда определитель матрицы будет равен нулю.

2. В случае диагональной матрицы обратная матрица также диагональна. Элементы ее, не равные нулю, представляют собой обратные величины диагональных элементов заданной матрицы:

3. Мы видели, что правило умножения двух матриц то же, что и умножения двух определителей. Однако аналогия между матричным исчислением и операциями с определителями на этом и заканчивается. В частности, правило умножения на число и правило сложения очень различны. Действительно,

Точно так же

Мы не останавливаемся, конечно, на глубоком различии сущности обоих понятий. Предыдущее замечание было сделано только для того, чтобы внешняя аналогия не привела к ошибкам из-за смешения правил вычисления.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление