Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.1.17. Необходимые условия равенства нулю произведения двух матриц.

Рассмотрим произведение двух квадратных матриц порядка имеющих ранги Можно доказать, что ранг матрицы произведения удовлетворяет неравенствам:

Пусть даны две квадратные матрицы порядка такие, что

В отличие от алгебры, где равенство влечет за собой одно из равенств или произведение двух матриц может быть нулевой матрицей и в случае, когда оба сомножителя отличны от нуля (точнее, от нулевой матрицы).

Пусть матрицы ненулевые. Если их произведение равно нулю, значит, равен нулю ранг матрицы этого произведения. Следовательно, в этом случае неравенства всегда удовлетворяются. Неравенство дает необходимое (но не достаточное) условие, которому должны удовлетворять ранги матриц-сомножителей.

Отсюда следует, что обе матрицы обязательно вырождены. Представим себе такой случай: матрица а вырождена, но один из ее миноров, составленный из строк и столбцов, не равен нулю. Тогда ранг а равен Так как ранг матрицы не равен нулю, то в силу предыдущего неравенства он может быть равен только единице. Но, как легко заметить, квадратная матрица может быть ранга 1 только в том случае, если все ее элементы пропорциональны. Следовательно, матрица обязательно имеет вид

Примеры.

где означает нулевую матрицу порядка .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление