Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.1.10. Степенные ряды.

Рассмотрим ряд комплексные числа. Ряд

составленный из модулей членов первого ряда, есть степенной ряд с вещественными членами. Для этих рядов доказывается существование числа (оно может быть равно и бесконечности) такого, что ряд сходится при и расходится при

Вернемся теперь к ряду (степенному ряду с комплексными членами) и рассмотрим в комплексной плоскости круг с центром О и радиусом Этот ряд будет сходящимся или расходящимся в зависимости от того, где будет находиться изображение внутри или вне круга.

Понятие равномерной сходимости, а также теоремы, относящиеся к сложению, умножению, дифференцированию и интегрированию вещественных степенных рядов, целиком применимы к комплексным степенным рядам.

Пример. Рассмотрим, разложение в степенной ряд (ряд Тейлора) функции

В вещественной и мнимой части этого разложения можно узнать ряды для и Таким образом, получаем формулу Эйлера:

Если заменить у на — у, то

Складывая и вычитая полученные формулы., найдем:

Отметим важные частные случаи формулы Эйлера:

Формула Эйлера дает возможность комплексное число

записать в виде

Последняя формула непосредственно иллюстрирует правило умножения и деления двух комплексных чисел . В самом деле, имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление