Главная > Разное > Основы теории электричества
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА VI. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

§ 76. Индукция токов в движущихся проводниках

Выяснив основные свойства стационарного электромагнитного поля, напряженность которого от времени не зависит, перейдем к изучению поля переменного. Обращаясь прежде всего к изучению индукции токов, мы изложим предварительно ряд соображений, которые помогут нам уяснить природу этих явлений и связать их с уже известными нам фактами.

1. Пусть замкнутый металлический проводник к которому не приложено сторонних ЭДС, движется во внешнем магнитном поле с некоторой скоростью Обозначим через и скорость относительно проводника какого-либо из «свободных» электронов проводимости этого проводника; тогда полная скорость электрона будет равна

и, согласно (45.3), на электрон будет действовать лоренцева сила

Второй член справа перпендикулярен скорости и электрона относительно проводника, и поэтому соответствующая этому члену сила не будет изменять скорости и, а будет лишь искривлять путь электрона в проводнике. Влияние этой силы на распределение токов и зарядов в проводнике (эффект Холла) было уже рассмотрено в § 45 и нас в дальнейшем интересовать не будет. Что же касается первого слагающего силы

отличного от нуля только в движущихся проводниках, то эта сила вообще говоря, не перпендикулярна и и поэтому может ускорять (и замедлять) движение электронов относительно проводника, т. е. может возбуждать электрические токи. Так,

например, в отрезке проводника лоренцева сила, приложенная к отрицательным электронам будет гнать их по проводнику влево. Следовательно, в проводнике возникает электрический ток. Так как направление тока условно считается обратным направлению движения отрицательных зарядов, то ток этот окажется текущим слева направо. В этом состоит явление индукции токов при движении проводника в магнитном поле, которое, таким образом, получает весьма простое истолкование на основе ранее установленных нами законов постоянного поля.

Рис. 68

2. Подсчитаем силу индукционного тока. С этой целью заметим, что сила (76.2), испытываемая в магнитном поле электроном, движущимся вместе с проводником со скоростью равна силе, испытываемой электроном в электрическом поле напряженности если

Из второго закона Кирхгофа следует, что под воздействием поля а стало быть, и под воздействием эквивалентного поля в замкнутом контуре должен возникнуть ток, сила которого определится из уравнения (38.6):

где сопротивление контура циркуляция вектора по контуру Эта последняя величина носит название электродвижущей силы индукции; согласно (76.3), она равна

где последнее равенство написано на основании известного тождества векторной алгебры:

Чтобы определить значение последнего интеграла, заметим, что где перемещение рассматриваемого элемента контура за время Стало быть,

С другой стороны, из сравнения уравнения (50.3) с выражением для о А, приведенным на с. 229, следует, что

где виртуальное перемещение элемента контура тока (ранее обозначавшееся через обусловленное этим перемещением изменение магнитного потока сквозь этот контур.

Заменяя в последнем уравнении на и сравнивая его с уравнением (76.5), получим

Это уравнение выражает собой известный закон индукции токов в движущихся проводниках: возникающая в проводнике электродвижущая сила индукции равна скорости (деленной на с) изменения потока магнитного вектора через контур этого проводника. Знак минус в уравнении (76.6) означает, что если магнитный поток через контур проводника численно увеличивается, то направление электродвижущей силы индукции в этом контуре составляет с направлением потока левовинтовую, а не правовинтовую систему. Обратно, при уменьшении направления составляют правовинтовую систему.

3. Из уравнения (76.6) следует, в частности, что если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что магнитный поток через его контур остается постоянным, то, несмотря на это движение, ток в проводнике все же индуцироваться не будет. К этому же выводу в ряде частных случаев можно прийти непосредственно из уравнения (76.2). Пусть, например, плоский контур движется в поле так, что его плоскость неизменно остается параллельной и и В этом случае неизменно равно нулю и, стало быть, согласно уравнению (76.6), тоже равно нулю. Непосредственно же из уравнений (76.2) следует, что пондеромоторная лоренцева сила направлена перпендикулярно к и т. е. в нашем случае перпендикулярно к плоскости контура, и, стало быть, не может вызвать движения электронов вдоль контура, т. е. не может возбудить тока.

Рис. 69

Рассмотрим, далее, случай поступательного движения проводящего контура (рис. 69) в однородном магнитном поле ( одинаково во всех точках поля); в этом случае все точки контура обладают одинаковой скоростью Очевидно, что поток через контур проводника при этих условиях

изменяться не будет и, следовательно, будет равно нулю.

Непосредственно же из постоянства векторов следует, что в параллельных сторонах проводника и электроны будут испытывать одинаковые по величине и направлению силы Силы эти будут стремиться вызвать циркуляцию электронов (ток) по проводнику во взаимно противоположных направлениях, и действия их взаимно уравновесятся.

4. Покажем теперь, что выражение (44.5) для плотности пондеромоторных сил испытываемых в магнитном поле обтекаемым током проводником:

применимо не только к неподвижным, но и к движущимся проводникам. Согласно (76.1) сумма сил, испытываемых в магнитном поле всеми электронами проводимости, находящимися в единице объема проводника, равна

где число электронов в единице объема, а и — средняя скорость электронов относительно проводника. Однако магнитное поле действует не только на электроны, но и на положительные ионы, образующие твердый кристаллический скелет проводника и движущиеся, по условию, со скоростью Сумма сил, действующих на ионы, находящиеся в единице объема проводника, равна

ибо при условии нейтральности проводника сумма зарядов ионов должна равняться с обратным знаком сумме зарядов электронов. Следовательно, равнодействующая всех сил, приложенных к единице объема проводника, равна

Так как, согласно (45.1), плотность тока в проводнике равна то последняя формула, как и требовалось доказать, равносильна уравнению (44.5) или (76.7).

5. Основываясь на результатах этого параграфа, мы получаем возможность разрешить то кажущееся внутреннее противоречие теории, о котором упоминалось в § 45 Заключалось оно в том, что, согласно уравнению (45.3), сила, испытываемая электрическим зарядом в магнитном поле, перпендикулярна его скорости и потому никакой работы совершать не может, между тем как при движении несущего ток проводника (движущиеся заряды!)

пондеромоторные силы магнитного поля, несомненно, совершают некоторую работу. А именно, если скорость проводника равна то пондеромоторные силы магнитного поля, приложенные к единице объема проводника, совершают, согласно (76.7), за время работу

Объясняется это кажущееся противоречие тем, что работа пондеромоторных сил магнитного поля представляет собой лишь часть всей работы, совершаемой магнитным полем. Эта работа исчерпывалась бы выражением работой равнодействующей всех сил только в том случае, если бы все заряды в проводнике двигались с одинаковой скоростью Так как электроны движутся не со скоростью а со скоростью то магнитное поле совершает над каждым из них еще дополнительную, не учтенную в (76.8) работу

и, следовательно, над всеми электронами в единице объема дополнительную работу

Таким образом, полная работа сил магнитного поля

действительно равна нулю.

Воспользовавшись обозначением (76.3), можно записать выражение (76.9) следующим образом:

где напряженность электродвижущей силы, индуцированной в проводнике при его движении в магнитном поле. Таким образом, А есть не что иное, как работа, совершаемая электродвижущей силой индукции при прохождении по проводнику тока уравнение (35.5)]. В макроскопической теории электродвижущие силы, возбуждающие токи в проводниках, не причисляются к силам пондеромоторным, и пондеромоторная сила определяется как результирующая всех сил поля, действующих на физически бесконечно малый объем тела. Итак, с точки зрения макроскопической теории можно следующим образом резюмировать полученные нами результаты: при движении проводника в магнитном поле работа (76.8) пондеромоторных сил этого поля равна по величине и противоположна по знаку работе (76.11) электродвижущих сил, индуцированных в проводнике его движением в поле. Поэтому полная работа сил магнитного поля равна нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление