Главная > Разное > Основы теории электричества
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 55. Магнитные листки. Эквивалентность их токам

1. Итак, рассмотрение магнитного поля токов можно заменить рассмотрением эквивалентного поля фиктивных магнитных диполей, образующих двойные магнитные слои, или, как их принято называть, магнитные листки. Поверхность этих листков должна совпадать с введенными нами в § 54 условными перегородками; следовательно, контуры листков должны совпадать с контурами токов. Чтобы поле этих листков вне занимаемого токами вихревого пространства и вне точек, лежащих на самом листке (где напряженность поля листка становится бесконечной, § 14), было тождественно с полем токов, достаточно, чтобы скачок магнитного потенциала на поверхности листка равнялся [уравнение (54.4)]. Скачок потенциала на поверхности двойного слоя (листка), согласно уравнениям (14.1) и (14.5), равен

где мощность листка (двойного слоя), I — его толщина, а поверхностная плотность заряда каждого из его слоев. Следовательно, мощность эквивалентного току магнитного листка

должна быть положена равной

где под нужно понимать плотность фиктивных магнитных зарядов на поверхности листка. Таким образом, эквивалентный току листок должен быть однородным, т. е. мощность его должна быть постоянной по всему его протяжению. Легко, наконец, убедиться, что магнитные диполи, составляющие листок, должны быть расположены так, чтобы положительное направление всех этих диполей (от составляло с направлением тока правовинтовую систему (рис. 59)

2. Потенциал однородного двойного слоя, согласно уравнению (14.4), может быть представлен в следующей форме:

где О есть телесный угол, под которым контур двойного слоя виден из точки наблюдения, обладающей потенциалом причем знак считается совпадающим со знаком зарядов той стороны слоя, которая видна из точки наблюдения.

Рис. 59

Таким образом, как и при проведении условных перегородок, мы вновь убеждаемся, что существенное значение имеет лишь положение контура листка, который должен совпадать с контуром тока; во всех же остальных отношениях форма и положение листка остаются произвольными. В этой произвольности формы магнитного листка с особенной отчетливостью проявляется условность замены тока эквивалентным листком: меняя форму листка, мы по нашему произволу можем заставить его проходить через любую точку пространства и тем «создать» в этой точке скачок магнитного потенциала. Возможно это, конечно, лишь потому, что само понятие потенциала магнитного поля не имеет, в сущности, реального физического смысла и может быть однозначно определено лишь после внесения в поле токов условных перегородок (листков). Если же мы, не внося этих перегородок (листков), тем не менее захотим определить магнитный потенциал с помощью соотношения (54.1), то потенциал этот окажется многозначной функцией точки.

Действительно, припишем некоторой точке потенциал добудем затем удаляться от по некоторой линии определяя потенциал точек этой линии с помощью соотношения (54.1). Пусть линия будет замкнутой, так что, двигаясь по ней все время в одном и том же направлении, мы вновь вернемся к исходной точке Приращение потенциала при полном обходе контура согласно уравнению (54.1), будет равно циркуляции вектора

по L, т. е., согласно уравнению (47.5), будет равно если контур один раз охватывает ток если он охватывает его раз. Таким образом, вернувшись в исходную точку мы «найдем» в ней (т. е. должны будем приписать ей) потенциал

вообще говоря (при отличный от прежнего потенциала и зависящий от значения т. е. от положения и формы контура . А это и значит, что магнитный потенциал есть многозначная функция точки и что сделать эту функцию однозначной можно лишь искусственно, путем внесения в многосвязное поле токов условных перегородок (магнитных листков).

3. Эквивалентность магнитного поля листков и линейных токов в отличие от избранного нами способа доказательства может быть установлена также путем непосредственного вычисления.

Сравним поле замкнутого тока силы с контуром и поле магнитного листка мощности с поверхностью опирающейся на контур Составляющая напряженности поля этого листка по какому-либо направлению согласно уравнениям (54.2) и (55.2), будет равна

Здесь есть отношение изменения испытываемого телесным углом при перемещении точки наблюдения на отрезок к длине этого отрезка Это изменение равно, очевидно, тому изменению, которое испытывает угол если остается неподвижной, а контур перемещается в противоположную сторону на отрезок При этом перемещении каждый элемент длимы контура описывает площадку которая будет видна из точки под углом [ср. уравнение (3.2)]:

Рис. 60

Из рассмотрения рис. 60 можно убедиться, что выбор порядка сомножителей в выражении для сделан правильно, что угол будет положительным, если из видна положительная сторона элемента магнитного листка, заключенного между исходным и смещенным контурами и отрицательным в обратном случае (напомним, что совпадает с направлением от к

Применив известные правила преобразования векторной алгебры, получим

Полное изменение телесного угла, под которым виден весь контур равно

стало быть,

Так как это уравнение справедливо при любом выборе направления то вектор напряженности поля магнитного листка должен быть равен

т. е. должен совпадать с напряженностью поля линейного тока силы [см. уравнение (42.4)], что и требовалось доказать.

4. Отметим в заключение еще раз, что все вышеизложенное относится лишь к полю безвихревого пространства (т.е. вне токов), внутри же этого пространства понятие магнитного потенциала теряет всякий смысл. Далее, эквивалентность токов и магнитных листков имеет место, в сущности, лишь в случае линейных токов, т. е. токов, расстояние которых от рассматриваемых точек поля велико по сравнению с сечением тока. В противном случае поле тока зависит от распределения тока по сечению вихревого кольца (т. е. несущего ток проводника), тогда как поле листка зависит лишь от положения его линейного контура. Правда, ток конечного сечения всегда может быть разложен на совокупность бесконечно тонких нитей тока, каждая из которых может быть заменена эквивалентным листком бесконечно малой силы, однако прибегать к столь сложным построениям не представляется целесообразным.

5. Нам остается еще показать, что замена линейных токов эквивалентными магнитными листками допустима не только при определении поля токов, но и при определении пондеромоторных сил, действующих на токи. Разумеется, замена тока эквивалентным листком допустима лишь при определении сил, испытываемых токами во внешнем магнитном поле, но не при определении взаимодействия элементов одного и того же тока.

Рассмотрим линейный ток силы и контура находящийся во внешнем магнитном поле напряженности Согласно уравнениям (50.1) и (50.4) потенциальная функция тока в этом поле будет равна

где есть некоторая поверхность, опирающаяся на контур но в остальных отношениях остающаяся произвольной. Предположим, что поле возбуждается токами, не пересекающими эту поверхность В этом случае, согласно результатам предшествующего параграфа, поле на всем протяжении поверхности можно рассматривать как поле потенциальное, обладающее некоторым магнитным потенциалом

Заменим теперь ток эквивалентным магнитным листком, совпадающим с поверхностью Потенциальная энергия магнитного заряда элемента поверхности листка во внешнем поле по аналогии с полем электростатическим, определяется выражением

общая же потенциальная энергия всех зарядов листка будет равна

где соответственно значения потенциала внешнего поля на отрицательной и положительной поверхностях магнитного слоя (магнитного листка), т. е. значения в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии толщины листка Стало быть,

где есть направление положительной нормали к листку, направленной от отрицательной его стороны к положительной. Следовательно,

или ввиду уравнения (55.1)

Таким образом, потенциальная энергия ил магнитного листка во внешнем магнитном поле действительно равна потенциальной функции эквивалентного листку тока Следовательно, пондеромоторные силы, действующие в этом поле на ток, равны силам, действующим на эквивалентный току магнитный листок, что и требовалось доказать.

Пример. Замена соленоида магнитом. Предположим, что ток циркулирует по цилиндрическому соленоиду (§ 49, с. 226), на единицу длины которого приходится витков проводника. Если ход винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить нанизанным на цилиндр замкнутым кольцеобразным током той же силы Заменим эти токи плоскими магнитными листками мощности

Если расстояние между смежными витками соленоида достаточно мало по сравнению с расстоянием рассматриваемых точек поля от соленоида, то приближенно можно считать, что ток распределен по поверхности цилиндра равномерно и непрерывно.

Соответственно этому «бесконечно малую» толщину магнитного листка I можно положить равной . В этом случае смежные листки будут соприкасаться своими противоположно заряженными поверхностями. Поэтому заряды их будут взаимно нейтрализоваться, за исключением лишь зарядов внешних поверхностей двух крайних листков, совпадающих с основаниями цилиндрического соленоида; основания эти будут равномерно покрыты магнитными зарядами противоположных знаков плотности

Следовательно, поле соленоида приближенно совпадает с полем цилиндрического магнита той же длины и того же сечения, основания которого равномерно покрыты магнитными зарядами указанной плотности. Как легко убедиться, направление момента этого магнита (от отрицательного, или южного, полюса к положительному, или северному) должно составлять правовинтовую систему с направлением тока в соленоиде (рис. 61).

Однако лишь внешнее поле такого магнита эквивалентно полю тока, внутри же магнита поле направлено противоположно полю тока (от Этого и следовало ожидать, ибо мы заполнили всю внутренность соленоида магнитными листками конечной толщины. Между тем лишь внешнее поле листка эквивалентно полю тока, внутри же листка поле его направлено противоположно полю того тока, которому он «эквивалентен». В предыдущем нам не приходилось обращать на это внимание, потому что мы рассматривали лишь бесконечно тонкие листки, внутри которых само понятие поля теряет всякий смысл, ибо напряженность его обращается в бесконечность (ср. § 14).

Рис. 61

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление