Главная > Разное > Основы теории электричества
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 22. Вектор электрической индукции. Дифференциальные уравнения поля в произвольной среде. Линии индукции

1. Вместо поляризации удобно ввести в рассмотрение вектор определяемый формулой

Вектор этот у разных авторов носит различные названия: электрическое смещение, электрическая поляризация [не смешивать с вектором уравнение (20.7)], электрическая индукция и т. д. Мы будем пользоваться последним из этих терминов.

Вектор электрической индукции, в сущности, представляет собой сумму двух совершенно различных физических величин: напряженности поля и (умноженной на поляризации единицы объема среды. Тем не менее введение в рассмотрение этого вектора чрезвычайно упрощает изучение поля в диэлектриках.

В частности, одно из основных уравнений электрического поля — уравнение (21.5) — с помощью обозначения (22.1) принимает весьма простой вид

В случае неполяризующейся среды (например, вакуума) вектор индукции совпадает с напряженностью поля а уравнение (22.2) совпадает с уравнением (6.5):

так что последнее уравнение является частным случаем формулы (22.2).

Умножая (22.2) на элемент объема и интегрируя по объему, заключенному внутри замкнутой поверхности получим, согласно теореме Гаусса (17,

Эта формула является обобщением электростатической теоремы Гаусса (3.6) для случая произвольной, в частности диэлектрической, среды.

Далее, в изотропных диэлектриках из (21.7) и (22.1) получаем

где

Таким образом, индукция пропорциональна напряженности поля коэффициент пропорциональности между ними носит название диэлектрической проницаемости. Заметим, что из (21.7) и (22.5) следует:

2. В предельном случае поверхностных зарядов уравнение (22.2), согласно (6.7) и (6.8), принимает вид

где а — поверхностная плотность свободного электричества.

Согласно (22.4) формулу эту можно записать так:

где значения диэлектрической проницаемости по обе стороны поверхности разрыва. В частности, если т. е. если на этой поверхности нет свободных зарядов, то

Следовательно, на незаряженной границе раздела двух различных сред нормальная слагающая электрической индукции остается непрерывной, нормальная же слагающая напряженности поля испытывает скачок.

Что же касается тангенциальной слагающей вектора то рассуждения, приведшие нас в § 7 к формуле (7.7), остаются в силе, ибо и в произвольном диэлектрике работа электрических сил от формы пути не зависит. Поэтому

Иными словами, тангенциальная слагающая напряженности поля всегда остается непрерывной, тангенциальная же слагающая индукции на поверхности раздела двух различных сред испытывает скачок.

Так как внутри проводников в случае электростатического равновесия (а следовательно, и равно нулю, то из (22.9) вытекает, что у внешней поверхности проводников электрический вектор (а следовательно, и всегда перпендикулярен этой поверхности. Поэтому уравнение (22.8) у поверхности проводников принимает вид

где внешняя нормаль к этой поверхности, диэлектрическая проницаемость соприкасающейся с ней среды. Уравнение (7.8) является, очевидно, частным случаем этой формулы.

3. Уравнения (21.4), (22.2), (22.4) и (22.7)

дополненные требованием непрерывности потенциала представляют собой полную систему уравнений электростатического поля в произвольной среде. Это значит, что если заданы плотности свободных зарядов и а и диэлектрическая проницаемость в каждой точке пространства и если на бесконечности удовлетворены условия (12.10): при остается конечным, то системой однозначно определяется электрическое поле, т. е. значения в каждой точке пространства; обратно, если заданы: а) диэлектрическая проницаемость и б) напряженность поля (или потенциал или индукция в каждой

точке пространства, то системой однозначно определяется распределение свободных зарядов

Справедливость второго утверждения очевидна; для доказательства же первого предположим, что существует два решения системы при заданных Внося оба решения в и вычитая затем соответственные уравнения друг из друга, получим

где

Далее на основании и (43) можем написать следующую цепь равенств:

Следовательно, интеграл по произвольному объему, ограниченному поверхностью на основании (17 будет равен

причем поверхностный интеграл должен быть взят лишь по граничной поверхности ибо во всем поле как так, согласно и остаются непрерывными. Если теперь распространить интегрирование по объему полного поля, то интеграл по поверхности обращается в нуль. Следовательно,

что может иметь место лишь в том случае, если во всех точках поля обращается в нуль, чем и доказывается однозначность решения системы

Итак, вектор удовлетворяющий системе тождественно равен нулю. Так как при отсутствии свободных зарядов система принимает вид то, стало быть, в отсутствие свободных зарядов электрическое поле тождественно равно нулю. Таким образом, наличие диэлектриков может только видоизменять поле свободных зарядов; в отсутствие же последних поляризация диэлектрика спадает, становится равной нулю и электрическое поле исчезает. (См., впрочем, примечание к с. 104.)

4. В заключение заметим, что для графического изображения электрического поля в диэлектриках неудобно пользоваться силовыми линиями этого поля, т. е. линиями вектора (см. § 10), ибо дивергенция (объемная и поверхностная) этого вектора при наличии диэлектриков может быть отличной от нуля не только в тех точках поля, где находятся свободные (объемные и поверхностные) заряды, но также и в точках расположения связанных зарядов диэлектрика, плотность которых в свою очередь зависит

от напряженности поля, неоднородностей среды и т. д. Поэтому для графического изображения поля в диэлектрике пользуются так называемыми линиями индукции, т. е. линиями вектора электрической индукции

Так как, согласно (22.4), вектор в каждой точке пространства (за исключением анизотропных сред) параллелен вектору то каждая линия индукции является вместе с тем и силовой линией и наоборот. Поэтому, в частности, из того, что невозможны замкнутые силовые линии, следует также и невозможность замкнутых линий индукции. Однако если, как это принято, чертить линии сил и линии индукции с таким расчетом, чтобы число этих линий, пересекающих любую площадку было по возможности пропорционально потоку соответствующего вектора или через эту площадку, то густота линий индукции и линий сил будет, вообще говоря, меняться различным образом от одного участка пространства к другому. В частности, при таком способе черчения некоторые линии сил нужно будет оборвать на связанных отрицательных зарядах диэлектрика, тогда как соответствующие линии индукции будут проходить через и за эти заряды до встречи с зарядами свободными.

Действительно, так как зависимость объемной и поверхностной дивергенции вектора от распределения свободных зарядов в произвольной среде совпадает с зависимостью от и а в отсутствие диэлектриков, то, согласно результатам § 10, линии индукции могут начинаться и оканчиваться лишь в тех точках поля, в которых расположены свободные электрические заряды, либо уходить в бесконечность В вакууме вектор тождествен вектору так что линии индукции совпадают с силовыми линиями.

Задача 16. Показать, что на границе раздела двух диэлектриков силовые линии (т. е. линии направления вектора испытывают преломление, причем

где - угол, образованный направлением силовой линии в первом диэлектрике с нормалью к поверхности раздела, диэлектрическая проницаемость первой среды, а и — соответственные величины для второй среды.

Задача 17. Показать, что напряженность поля в средней части длинной и узкой щели, проделанной в твердом диэлектрике, равна напряженности поля в диэлектрике, если щель эта параллельна вектору и что равна индукции в диэлектрике, если щель перпендикулярна

Задача 18. Показать, что для однозначного определения электростатического поля в произвольной среде достаточно задать, во-первых, расположение и форму проводников, значение диэлектрической постоянной в каждой точке среды и распределение свободных объемных и поверхностных зарядов в диэлектрике и, во-вторых, либо потенциал каждого проводника [задача ], либо общий заряд каждого проводника [задача ] (ср. § 13).

Задача 19. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика. Диэлектрические постоянные этих слоев равны а их толщины — причем где расстояние между пластинами конденсатора. Показать, что емкость конденсатора С определяется соотношением

где поверхность его пластин.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление