Главная > Разное > Основы теории электричества
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18. Определение пондеромоторных сил из выражения энергии

1. Перемещение тел в электрическом поле сопровождается, вообще говоря, как изменением энергии этого поля, так и работой А пондеромоторных сил поля. Если при этом не происходит преобразования других форм энергии (тепловой, химической и то работа пондеромоторных сил должна, очевидно, совершаться за счет изменения энергии поля, так что

Исходя из этого соотношения, мы определили в § 15 энергию поля обратно, зная мы на основании (18.1) можем определить работу А, а стало быть, и совершающие эту работу пондеромоторные силы.

Действительно, формула (18.1) показывает, что энергия электрического поля играет роль потенциальной энергии в смысле аналитической механики, методами которой мы и можем воспользоваться. Пусть энергия в самом общем случае выражена в зависимости от каких-либо «обобщенных координат» характеризующих распределение зарядов, проводников и т. п. Тогда

где по терминологии аналитической механики, суть «обобщенные силы», действующие «по направлению» координат Отсюда на основании (18.1) при условии независимости координат следует, что

Весьма часто определение пондеромоторных сил на основании этой формулы оказывается несравненно более простым, чем непосредственное определение их по формулам § 17 путем интегрирования по отдельным элементам зарядов.

2. В качестве простейшего примера определим этим способом силы взаимного притяжения пластин плоского конденсатора. Энергия этого конденсатора равна [см. уравнение (15.9) и результаты решения задачи 8, с. 52]:

При раздвигании пластин, т. е. при увеличении расстояния между ними, полем совершается работа

С другой стороны, если есть сила притяжения, испытываемая единицей поверхности пластины конденсатора, общая сила, действующая на всю поверхность пластины то

Приравнивал полученные выражения, найдем

где плотность заряда на поверхности пластин, что вполне согласуется с (17.2).

К тому же результату можно прийти и непосредственно из (18.3), полагая в этой формуле

3. Выше мы неявным образом предполагали, что при смещении пластин конденсатора заряд их остается постоянным. Мы получили бы совершенно иное значение предположив, что не заряд, а разность потенциалов пластин конденсатора остается постоянной при их смещении. Объясняется это тем, что разность потенциалов обкладок конденсатора может оставаться неизменной при перемещениях этих обкладок (изменения емкости) лишь в том случае, если эта разность потенциалов поддерживается неизменной некоторыми сторонними ЭДС неэлектростатического происхождения (см. § 38), совершающими при изменении С некоторую добавочную работу. (Это имеет, например, место при присоединении обкладок конденсатора к полюсам гальванического элемента.) При этом формула (18.1), очевидно, перестает быть применимой.

На основании (15.9) и (9.1) для конденсатора любой формы имеем: при

при

т. е.

Таким образом, сопровождающие перемещение обкладок конденсатора изменения его электрической энергии при и при равны по величине, но противоположны по знаку. С другой стороны, ввиду соотношения

изменение емкости С при постоянном должно сопровождаться изменением заряда конденсатора

т. е. перенесением заряда с одной из обкладок конденсатора на другую. При прохождении этого заряда через включенный между обкладками конденсатора гальванический элемент химическая энергия этого элемента, как мы увидим в гл. III, уменьшается, а ЭДС элемента совершает работу

В разомкнутой цепи, состоящей из элемента и конденсатора,

и, стало быть,

или ввиду (18.4):

Таким образом, при работа А пондеромоторных сил поля совершается не за счет энергии поля а за счет химической энергии

гальванического элемента (или энергии другого источника сторонней ЭДС). В частности, положительная работа сил поля А сопровождается приращением электрической энергии происходящим также за счет энергии гальванического элемента.

Таким образом, формула (18.1) справедлива лишь при условии, что перемещение тел в электрическом поле не сопровождается работой сторонних ЭДС неэлектростатического происхождения. Кроме того, условием применимости формулы (18.1) является, очевидно, достаточная медленность перемещения тел, а именно столь малая скорость перемещения, чтобы в каждый данный момент процесса электрическое состояние системы могло быть описано уравнениями электростатики (т. е. бесконечно мало отличалось от равновесного).

Пример. Определить силы, действующие на твердый диполь, исходя из его энергии во внешнем поле. Энергия диполя во внешнем поле, согласно (15.8), равна

и является функцией: а) координат центра диполя х, у, z и б) угла между осью диполя и заданным направлением электрического поля (числовое значение момента диполя считаем неизменным: «твердый» диполь). Согласно известным положениям аналитической механики «обобщенные силы», соответствующие этим обобщенным координатам, представляют собой не что иное, как

а) равнодействующую приложенных к диполю сил:

б) момент приложенных к диполю сил:

стремящийся увеличить угол

Из (15.8) и (18.6) следует, что

Это выражение в случае электростатического поля, которым мы здесь только и ограничимся, лишь по своей форме отличается от ранее выведенного выражения (17.5):

Действительно, для всякого постоянного (не зависящего от координат х, у, z) вектора имеет место соотношение

Чтобы доказать это соотношение, достаточно рассмотреть слагающую вектора хотя бы по оси

В интересующем нас случае электростатического поля вектор и поэтому его ротор, как ротор всякого градиента скаляра, равен нулю: [уравнение (7.6)].

Таким образом, в электростатическом поле действительно

и формула (18.8) эквивалентна формуле (17.5).

Обращаясь к моменту сил, приложенных к диполю, получаем из (15.8) и (18.7):

Ввиду того, что правая часть этого выражения отрицательна, и, стало быть, согласно смыслу формулы (18.7), момент стремится уменьшить угол между и (рис. 24). Следовательно, по величине и направлению вектор момента сил определяется формулой

совпадающей с ранее выведенной нами формулой (17.6).

Рис. 24

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление