Главная > Разное > Основы теории электричества
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Типичные задачи электростатики

1. Введение понятия потенциала значительно облегчает решение задач электростатики, ибо задача определения векторного поля электрической напряженности сводится к определению поля скаляра иными словами, определение трех функций точки (слагающих вектора сводится к определению одной только функции

Зная плотность объемных и поверхностных зарядов, можно определить потенциал поля [формула (12.11)]; обратно, зная градиент потенциала по дивергенции этого градиента и по величине скачков его нормальной слагающей на поверхностях разрыва можно однозначно определить распределение зарядов [формулы (11.3) и (12.9)].

Однако практически, конечно, невозможно измерить плотность зарядов или градиент потенциала во всех точках поля. Поэтому экспериментатору приходится фактически иметь дело с задачами иного типа, а именно: дано расположение и форма всех находящихся в поле проводников; определить поле этих проводников и распределение зарядов по их поверхности, если известны либо потенциал каждого проводника (задача А), либо общий заряд каждого проводника (задача В). Объемные заряды предполагаем отсутствующими, ибо заряды проводников сосредоточены на их поверхности (§ 5), а диэлектрики в этой главе не рассматриваются.

2. Покажем прежде всего, что и этими на первый взгляд весьма обще формулированными условиями электростатическое поле, а стало быть, и распределение зарядов определяются однозначно.

Предположим противное, и пусть суть две различные функции точки, удовлетворяющие условиям задачи А или В. Ввиду отсутствия объемных зарядов как так и должны удовлетворять во всем пространстве уравнению Лапласа (11.4);

стало быть, и разность их

удовлетворяет тому же уравнению

Полагая в формуле Грина таким образом, получим

где интегрирование предполагается распространенным по всему лежащему вне проводников пространству V, так что под нужно понимать совокупность поверхностей всех проводников.

Так как при решении задачи должны принимать на наперед заданные значения, то на всех поверхностях равно нулю. Стало быть,

Ввиду положительности подынтегрального выражения из этого равенства следует, что во всем пространстве равно нулю, т. е. что Так как, кроме того, на поверхностях проводников обращается в нуль, то оно равно нулю и повсюду. Стало быть,

чем и доказывается однозначность решения задачи А.

Обращаясь к задаче В, заметим, что на поверхности каждого проводника потенциалы а стало быть, и должны иметь постоянное значение. Значит, для поверхности каждого проводника можно написать

Но на поверхности проводников, согласно (5.1),

где — плотности зарядов проводников, соответствующие решениям Стало быть,

и

где суть значения общего заряда проводника, соответствующие решениям и согласно условию должны равняться одному и тому же наперед заданному значению. Так как приведенное рассуждение применимо к поверхности каждого проводника, то вся правая часть равенства (13.1) обращается в нуль, откуда, как и в случае задачи А, следует, что

Таким образом, различные решения задачи В могут отличаться лишь несущественной аддитивной постоянной в выражении потенциала, которая, впрочем, обратится в нуль, если наложить в бесконечности условия (12.10). Нетрудно, наконец, убедиться, что если для части проводников заданы условия типа А, а для остальных — условия типа В, то решение задачи остается однозначным.

3. Итак, однозначность решения задач электростатики нами доказана. Впрочем, нахождение самого решения представляет, вообще говоря, значительные математические трудности. Однако если нам удастся каким-либо способом найти выражение для удовлетворяющее поставленным условиям А или В, то теорема об однозначности позволяет заключить, что найденное выражение есть единственное и потому истинное решение задачи. Умелое пользование этим обстоятельством весьма облегчает рассмотрение ряда проблем электростатики, что мы можем здесь иллюстрировать, к сожалению, лишь на одном единственном примере, пользуясь при этом для упрощения понятием точечного заряда. Пример этот представляет собой частный случай применения общего «метода изображений».

Рис. 19

Пример. Точенный заряд находится на расстоянии от бесконечного проводника, занимающего левое полупространство (рис. 19). Определить поле в правом полупространстве и плотность зарядов, индуцированных зарядом на поверхности проводника. Этот пример относится к типу рассмотренных выше задач, ибо общий заряд проводника, несущего «точечный» заряд, задан: постоянный же потенциал бесконечного проводника может быть условно принят равным нулю. Стало быть, этими условиями решение задачи определено однозначно.

Чтобы найти это решение, предположим, что на продолжении перпендикуляра, опущенного из на поверхность проводника, находится на расстоянии от этой поверхности заряд затем мысленно устраним сам проводник. Тогда плоскость, совпадавшая ранее с поверхностью проводника, будет обладать требуемым потенциалом нуль, ибо все точки этой плоскости будут равно отстоять от равных по величине и противоположных по знаку зарядов Стало быть, поле совокупности этих зарядов в правом полупространстве удовлетворяет условиям задачи, из чего на основании теоремы однозначности следует, что поле это в правом полупространстве тождественно искомому полю заряда и зарядов, индуцированных им на поверхности бесконечного проводника.

Таким образом, наша задача сведена к весьма простой задаче определения поля двух точечных зарядов Конечно, внутри проводника поле равно нулю, так что в левом полупространстве поле зарядов (штриховые линии на рис. 19) не совпадает с полем заряда и проводника.

Задача 13. Довести до конца решение рассмотренного примера и показать, что плотность зарядов, индуцированных зарядом на поверхности бесконечного проводника равна

где расстояние элемента поверхности проводника от заряда и что весь заряд, индуцированный на проводнике, равен

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление