Если обобщить предположение
таким образом, чтобы частные производные первого и второго порядков относительно компонент
можно было вычислять, дифференцируя под знаком интеграла от о. в. п.
, то элемент
информационной матрицы Фишера можно будет также записать в виде
Подходящее обобщение предположения
выглядит следующим образом: матрица
положительно определена для всех
и ее элементы являются непрерывными функциями от
В доказательстве теоремы 1 § 10.7, устанавливающей существование состоятельной последовательности решений уравнения правдоподобия, существенным образом использовалось то обстоятельство, что параметр
веществен; обобщение этого доказательства на случай
-мерного вектора
довольно сложно. Эти обобщения рассматривались Чандой (1954) и Доссом (1962, 1963). Из их результатов и из общих результатов Вальда (1949) можно вывести соответствующие теоремы для многомерного случая. В рассматриваемой ситуации система к уравнений правдоподобия имеет вид
Предположим, что наблюдения
образуют повторную выборку с о. в.
Тогда при определенных условиях, которые здесь не обсуждаются, существуют решения
системы уравнений правдоподобия, такие, что
с вероятностью 1.
Далее, теорема 1 § 10.9 допускает непосредственное обобщение на векторный случай. Пусть
при любом
обозначает невырожденную к
-матрицу с непрерывными элементами, для которой
Для всякого фиксированного вектора
положим
При условии, что выполнены соответствующие обобщения предположений
выводим, что с вероятностью
Предположим теперь, что произведено
наблюдений
и при
к пусть
обозначает число наблюдений типа
Тогда состоятельная последовательность решений системы уравнений правдоподобия (4) задается вектором
Следовательно, при больших
апостериорное распределение
является приближенно
-мерным нормальным распределением с вектором средних
и матрицей точности
Предыдущие рассуждения дают следующий интересный результат. Апостериорная многомерная нормальная
имеет вид (7). Производя/элементарные алгебраические преобразования, приходим к равенству
Пусть
обозначает случайную величину из правой части равенства (12). Из результата упр. 12 к гл. 5 следует, что при любых заданных значениях
распределение
является приближенно
-распределением с
степенями свободы. Случайная величина
это один из вариантов стандартной статистики, применяемой в критерии
Здесь в знаменатель входят сами наблюденные значения
в то время как обычно принято записывать в знаменателе их средние значения
Известно (см.
) Нейман (1949), Джеффрис (1961), гл. 4), что для каждого фиксированного значения
и для больших
распределение
хорошо аппроксимируется
-распределением с
степенями свободы. Таким образом, в нашем примере выводы о
основанные
на апостериорном распределении случайной величины
согласуются с выводами о значении
доставляемыми обычным критерием согласия. Конечно, с точки зрения, развитой в этом параграфе, статистик может предпочесть работать со всем
-мерным апостериорным распределением
а не с апостериорным распределением одной случайной величины
Наш пример на самом деле носит не частный характер, а является хорошо известным и важным фактом асимптотической теории оценивания по методу максимального правдоподобия [см. работы, указанные в конце § 10.7, а также статью
Согласно этой теории, при определенных условиях для любого заданного значения
и для больших
распределение случайного вектора
является приближенно нормальным распределением с вектором средних 0 и единичной матрицей точности. Матрица
уже была определена в этом параграфе. Соответствующие условия типа регулярности гарантируют, что
случайный вектор
имеет приближенно то же многомерное нормальное распределение при всех
Но, как мы уже показали в настоящем параграфе, этот многомерный нормальный закон является также приближенным апостериорным распределением для
при любых значениях наблюдений.
Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Приведенный в этом параграфе пример с мультиномиальным распределением изучался фон Мизесом еще в 1919 г. (см. фон Мизес (1964)), Ю. Нейманом (1929), Линдли (1965), гл. 7, и Уотсоном (1966). Линдли (1964) и Блох и Уотсон (1967) рассматривали мультиномиальное распределение в более общих задачах с таблицами сопряженности признаков.
Чернов (1952, 1956) исследовал асимптотическое поведение байесовского риска при
в некоторых задачах решения.