Главная > Обработка сигналов, моделирование > Оптимальные статистические решения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10.6. Супер непрерывность

Рассмотрим параметр значения которого лежат в открытом интервале вещественной прямой, причем длина этого интервала может быть как конечной, так и бесконечной. Предположим, как всегда, что задано семейство о. в. п. образуют повторную выборку (из распределения) с о. в. п. , где фиксированная точка из При этих условиях мы изучим предельное поведение при функции правдоподобия, вычисленной по наблюденным значениям. А именно, мы покажем, что при некоторых условиях типа регулярности

функция правдоподобия, а следовательно, и апостериорная сходятся в некотором смысле к п. р. в. нормального закона.

Для любой точки и любого числа обозначим через интервал с центром в содержащий все точки из расстояние которых от меньше, чем а.

Пусть теперь произвольная вещественная функция, значения которой определены для всех точек произведения . Здесь, как и раньше, S обозначает выборочное пространство для одного наблюдения Нам будет удобно ввести следующее/определение. Функция называется супернепрерывной в точке если

В соотношении (1) и далее математическое ожидание вычисляется относительно о. в. п. каждого наблюдения.

Смысл (1) соотношения ухватывается не сразу, поэтому перед обсуждением вопросов предельного поведения функции правдоподобия мы установим некоторые свойства супернепрерывных функций. Для определим значение формулой

Функция супернепрерывна в точке тогда и только тогда, когда

В последующих двух леммах мы покажем, что если среднее существует для всех достаточно малых значений а, то супернепрерывность функции в точке равносильна обычной непрерывности функции в точке для почти всех значений В этих леммах надо иметь в виду, что выражение «некоторое свойство справедливо для почти всех означает, что это свойство выполняется для каждого значения х, за возможным исключением значений из некоторого подмножества нулевой вероятности в

Лемма 1. Если функция супернепрерывна в точке то функция непрерывна в точке для почти всех

Доказательство. Предположим, что для точки функция не непрерывна в Тогда найдется положительное число. такое, что при всех Если множество таких точек имеет положительную вероятность, то

Поэтому (3) не может иметь места при а 0. Из этого противоречия следует, что множество нулевой вероятности. Другими словами, функция должна быть непрерывной в точке для почти всех значений х из выборочного пространства

Для доказательства леммы 2 нам понадобится следующая теорема, которая известна как теорема Лебега о (мажорированной) сходимости [см. Лоэв (1963), § 7, Халмош (1950), гл. 5, Колмогоров и Фомин (1968), § 12].

Теорема Лебега об ограниченной сходимости. Пусть последовательность функций на такая, что для каждого существует и пусть для почти всех Предположим, что найдется функция такая, что для всех и всех Тогда существует .

Лемма 2. Если найдется число такое, что при а и функция непрерывна в точке при почти всех то супернепрерывна в

Доказательство. Для каждого при котором функция непрерывна в точке Далее, если то при всех Так как то из теоремы Лебега о сходимости выводим

Таким образом, функция супернепрерывна в

Из лемм 1 и 2 вытекает следующая теорема.

Теорема 1. Предположим, что существует число такое, что при а Тогда функция супернепрерывна в в том и только том случае, когда функция непрерывна в для почти всех

Для упрощения обозначений будем далее обозначать частные производные по от функции на через Например,

Здесь произвольные значения, для которых существует указанная производная.

В качестве примера применения понятия супернепрерывности приведем следующую теорему, позволяющую менять местами операции дифференцирования и интегрирования, т. е.

позволяющую дифференцировать под знаком математического ожидания. Другие результаты такого рода имеются в книге Крамера (1946), гл. 7.

Теорема 2. Пусть при некотором значении а для всех и всех существует частная производная которая супернепрерывна в точке Если при всех существует и то

Доказательство. Для установления равенства (7) надо показать, что

Мы выведем этот результат из теоремы Лебега о сходимости, убедившись в существовании функции для которой при всех и всех

Согласно хорошо известной из анализа теореме о среднем, найдется точка лежащая между для которой

Так как

По условию теоремы функция супернепрерывна в точке Следовательно, математическое ожидание правой части неравенства (11), которое мы обозначим через конечно и выполняется следующее соотношение:

Так как по предположению то из (10) и (12) видно, что неравенство (9) действительно имеет место.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление