Главная > Обработка сигналов, моделирование > Оптимальные статистические решения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10.4. Высокоточные измерения

В этом параграфе мы продолжим изучение последствий использования собственной или несобственной равномерной априорной плотности параметра в случае когда наблюдения являются высоко информативными. Мы покажем, что при достаточно общих условиях апостериорное распределение получаемое из равномерной априорной плотности на параметрическом пространстве хорошо аппроксимирует апостериорное распределение, отвечающее более аккуратно выбранному собственному априорному распределению. Тот факт, что апостериорные распределения, соответствующие равномерным априорным плотностям, являются хорошим приближением для действительных апостериорных распределений, есть следствие общего принципа, называемого принципом устойчивого оценивания [по Сэвиджу, см. Эдварде, Линдмэн

и Сэвидж (1963)] или принципом высокоточных измерений [см. Сэвидж (1961) и Сэвидж и др. (1962)]. В каждой из указанных трех публикаций содержится превосходное обсуждение вопросов, относящихся не только к теории измерений высокой точности, но и к проблемам общих байесовских статистических выводов.

Одной из интересных черт теории высокоточных измерений является возможность получить определенные количественные результаты, показывающие, насколько хорошо приближенное апостериорное распределение согласуется с истинным апостериорным распределением. Теорема, которую мы здесь приведем, принадлежит Эдвардсу, Линдмэну и Сэвиджу (1963). Она верна независимо от того, является скалярным или векторным параметром, имеет априорную дискретную ф. в. на счетном множестве значений или априорную п. р. в. на Наше изложение будет достаточно общим, чтобы охватить все эти случаи.

Пусть параметр, принимающий значения из параметрического пространства Пусть, далее, X — случайная величина или случайный вектор с условной о. в. п. при равной Если априорная о. в. п. параметра то, как всегда, обозначает апостериорную о. в. п. W после наблюдения значения Мы предположим, что априорная в. о. является ограниченной функцией на множестве

Пусть для наблюденного значения

Определим функцию на следующим образом:

Функция является апостериорной о. в. п. для получающейся из равномерной априорной о. в. п. Следующая теорема дает оценку для разности между действительной апостериорной о. в. п. .

Теорема 1. Пусть подмножество в такое, что

и пусть три числа , удовлетворяющие следующим соотношениям:

Если число определено равенством

то

Доказательство. Если то

Если же то значение отношения в левой части (9) не определено. Мы положим его равным правой части соотношения (9), так чтобы это соотношение было верным при всех Из (3) — (6) получаем

и

Далее, сопоставляя соотношения (9) — (11) с соотношениями (3) — (6), приходим к следующим неравенствам: при всех

и при

Отсюда заключаем, что

Одним из следствий неравенства (8) является то, что для любого подмножества В пространства разность между вероятностями вычисленными согласно о. в. п. и согласно действительной апостериорной о. в. п. , не может быть больше Значение из теоремы 1 зависит от выбора множества А. Предпочтителен выбор множества А с малым значением , т. е. с малыми значениями .

Большим достоинством теоремы 1 является простота соотношений (4) — (6). Для всякого множества А число а, входящее в неравенство (4), может быть вычислено по о. в. п. и наблюденному значению х.

Рис. 10.1. Пример высокоточных измерений.

При этом не нужно знать само априорное распределение. Числа , входящие в (5) и (6), статистик может вычислить, используя две простых оценки для его априорной о. в. п. Для того чтобы было обеспечено существование множества А с малыми значениями , наблюденное значение должно нести в себе достаточно информации о так чтобы функция правдоподобия была сосредоточена в окрестности некоторой точки из При этих условиях статистик, не заботясь о виде априорной о. в. п., может быть уверен в том, что о. в. п. будет достаточно хорошей аппроксимацией истинной апостериорной о. в. п.

Предположим, например, что это вещественная прямая и график априорной параметра имеет вид, указанный на рис. 10.1. Как видно из этого рисунка, функция постоянна на интервале от а до Пусть после извлечения повторной выборки график имеет вид, указанный, на том же рисунке. Если в качестве множества А выбран интервал, от а до то значение а равно общей площади двух

заштрихованных областей на рисунке. Далее, видно, что для нашей п. р. в. Из формулы (7) следует, что Поэтому разность между вероятностью всякого подмножества в вычисленной по функции график которой изображен на рис. 10.1, и истинной апостериорной вероятностью этого подмножества не может превосходить

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление