Главная > Обработка сигналов, моделирование > Оптимальные статистические решения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9.13. Матрицы точности с неизвестным множителем

В этом параграфе мы рассмотрим задачу выбора из многомерного нормального распределения, для которого значение вектора средних неизвестно, а матрица точности представляет собой произведение известной матрицы на неизвестное положительное число Другими словами, матрица точности имеет вид где известная симметрическая положительно определенная -матрица. Стандартная ситуация такого типа — это выбор из многомерного нормального распределения, про которое известно, что его компоненты независимы и имеют одну и ту же дисперсию, но значение этой дисперсии неизвестно. В этом случае неизвестная дисперсия компонент, а матрица точности имеет вид где I — единичная матрица.

Доказательство следующей теоремы составляет предмет упр. 44.

Теорема 1. Пусть повторная выборка из многомерного нормального распределения, для которого вектор средних неизвестен, а матрица точности имеет вид где известная положительно определенная матрица, а значение неизвестно. Предположим, далее, что априорное совместное распределение таково, что условное распределение при есть многомерное нормальное распределение с вектором средних и матрицей точности где симметрическая положительно определенная -матрица, а маргинальное распределение есть гамма-распределение с параметрами Тогда апостериорное совместное распределение при описывается следующим образом: условное распределение при есть многомерное нормальное распределение с вектором средних и матрицей точности где

а маргинальное распределение есть гамма-распределение с параметрами а где

Можно показать (см. упр. 45), что в случае, когда совместное распределение есть многомерное нормальное гамма—распределение, указанное в теореме 1, маргинальное распределение вектора средних есть многомерное -распределение с степенями свободы, вектором сдвига и матрицей точности

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Апостериорные распределения для параметров многомерного нормального распределения изучались Андо и Кауфманом (1965), Гейсером (1964, 1965а,b), Гейсером и Корнфилдом (1963). Вероятностные модели, связанные с моделью, указанной в теореме 1, будут использованы в гл. И для изучения некоторых проблем регрессии и дисперсионного анализа.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление