Главная > Обработка сигналов, моделирование > Оптимальные статистические решения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9.10. Многомерное нормальное распределение с неизвестным вектором средних и неизвестной матрицей точности

Мы обобщим теперь теорему 1 § 9.6, рассмотрев задачу выбора из многомерного нормального распределения, для которого и вектор средних, и матрица точности неизвестны. Пусть выборочные значения наблюдений Обозначим через симметрическую неотрицательно определенную к х-матрицу, определяемую равенством

Теорема 1. Пусть повторная выборка из многомерного нормального распределения с неизвестным вектором средних и неизвестной матрицей точности Пусть, далее,

априорное совместное распределение таково, что условное распределение при является многомерным нормальным распределением с вектором средних и матрицей точности а маргинальное распределение R есть распределение уишарта с а степенями свободы и матрицей точности причем а симметрическая положительно определенная матрица. Тогда апостериорное совместное распределение описывается следующим образом. условное распределение при есть многомерное нормальное распределение с вектором средних и матрицей точности где

а маргинальное распределение R есть распределение Уишарта с а степенями свободы и матрицей точности

Доказательство. При функция правдоподобия пропорциональна функции, задаваемой правой частьр соотношения (10) § 9.9. Далее, из равенств (4) и (11) § 9.9 и формулы (1) следует, что сумму под знаком экспоненты в этой функции можно записать в виде

Априорная совместная п. р. в. удовлетворяет следующему условию:

Можно проверить, что

Последний член в соотношении (6) можно переписать так:

Из соотношений (10) § 9.9 и (4) — (7) получаем следующее соотношение для совместной параметров

В соотношении (8) функция в первых фигурных скобках, рассматриваемая как функция от должна быть пропорциональной условной п. р. в. М при так как не входит в выражение во вторых фигурных скобках. Эта функция пропорциональна п. р. в. многомерного нормального распределения, для которого вектор средних и матрица точности указаны в формулировке теоремы. Отсюда следует, что функция во вторых фигурных скобках пропорциональна маргинальной п. р. в. R и, таким образом, пропорциональна п. р. в. распределения Уишарта, приведенного в формулировке теоремы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление