Главная > Обработка сигналов, моделирование > Оптимальные статистические решения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8.11. Статистические задачи решения, в которых ... состоят из двух точек

Рассмотрим статистическую задачу решения, в которой а функция потерь задается таблицей 8.4, где и предположим, что перед

принятием решения статистик может наблюдать случайную величину или случайный вектор Эти условия выполнены в примерах, рассмотренных в § 8.9 и 8.10. В настоящем параграфе мы опишем байесовские решающие функции для общей задачи указанного типа.

Таблица 8.4 (см. скан)

Для любой решающей функции обозначим через условную вероятность принятия решения при Пусть, далее, условная вероятность принятия решения когда Другими словами, и суть вероятности того, что предписывает неправильные решения в случаях соответственно. Пусть априорное распределение определено равенством где Тогда из таблицы 8.4 следует, что риск решающей функции равен

Из (1) видно, что в каждой конкретной задаче надо найти байесовскую решающую функцию, минимизирующую линейную комбинацию вида где заданные положительные числа. Следующая теорема указывает решающую функцию, доставляющую это минимальное значение. Этот результат является вариантом известной в статистике леммы Неймана — Пирсона.

Пусть условная о. в. наблюдения X при

Теорема 1. Пусть а заданные постоянные и решающая функция, такая, что

В случае в качестве можно взять любое из значений Тогда для всякой другой решающей функции

Доказательство. Если другая решающая функция, то пусть обозначают подмножества выборочного

пространства определяемые следующим образом:

Тогда

Поскольку всякая решающая функция вполне задается указанием множества на котором она принимает значение то нахождение решающей функции минимизирующей линейную комбинацию равносильно определению множества для которого последний интеграл в (6) принимает минимальное значение. Этот интеграл достигает минимума, когда множество включает в себя все точки для которых интегральная функция отрицательна, и не содержит тех точек в которых подинтегральная функция положительна. При этом неважно, входят ли в те точки где подинтегральная функция равна нулю. Решающая функция определяемая с помощью этого множества удовлетворяет условиям (2) и (3).

Из теоремы 1 видно, что байесовская решающая функция в задаче рассматриваемого типа зависит, и притом весьма простым образом, лишь от отношения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление