Главная > Обработка сигналов, моделирование > Оптимальные статистические решения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.4. Построение вероятностного распределения

Пусть нам заданы выборочное пространство -алгебра событий и отношение удовлетворяющее предположениям SP1 - SP5. В этом и следующем параграфах мы покажем, что при этих условиях существует единственное вероятностное распределение согласованное с отношением

По предположению SP5 существует случайная величина X с равномерным распределением на интервале [0, 1]. Для каждого подинтервала интервала [0,1] пусть обозначает событие, состоящее в том, что случайная величина X приняла значение из Тогда для интервалов соотношения равносильны. Кроме того,

Теорема 1. Для всякого события А существует единственное число такое, что

Доказательство. Для любого события А пусть обозначает подмножество интервала [0, 1], определяемое равенством

Так как то точка 1 принадлежит множеству значит, непусто. Пусть Если убывающая последовательность точек из сходящаяся к а, то Следовательно, в силу предположения

Если то из соотношений и (2) следует, что

Предположим, что а Тогда из определения а видно, что при всех а, для которых 0 а Далее, если какая-либо строго возрастающая последовательность, сходящаяся к а, то , Значит, в силу теоремы 5 § Это соотношение вместе с (2) снова дает

Значение а определено однозначно. В самом деле, если то значит, только одно из этих событий может быть эквивалентно А.

Искомое вероятностное распределение можно определить теперь непосредственно с помощью теоремы 1. Если А — произвольное событие, то определяется как число из теоремы 1. Итак, задается соотношением

Следующая теорема показывает, что определенное таким образом распределение согласуется с отношением

Теорема 2. Пусть два события. Тогда в том и только в том случае, когда

Доказательство. В силу тогда и только тогда, когда

Далее, из определения равномерного распределения видно, что соотношение (4) равносильно тому, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление