Главная > Обработка сигналов, моделирование > Оптимальные статистические решения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14.18. Примеры достаточных экспериментов

В этом параграфе мы проиллюстрируем понятие достаточного эксперимента на трех примерах.

ПРИМЕР 1. Предположим, что параметр Сможет принимать всего два значения и а случайные величины

определяются следующим образом. Случайная величина X принимает значения 0 и 1 с вероятностями

Если то случайная величина У равномерно распределена на интервале (0, 1); если же она равномерно распределена на интервале

В этом примере случайная величина достаточна для X. Чтобы обнаружить этот факт, введем случайную величину формулой

Непосредственно проверяется, что имеет то же распределение, что и X, как в случае так и в случае

Другое доказательство достаточности У для X можно получить, явно построив функцию , удовлетворяющую условиям (6) — (8) § 14.17.

Рассмотрим теперь задачу статистического решения, в которой статистик должен выбрать решение из данного пространства решений и в которой его ущерб зависит от значения параметра и от выбранного решения Предположим, что статистик может провести перед принятием решения последовательных наблюдений, причем на каждом из шагов он может наблюдать X или У. Тогда, согласно оптимальной процедуре, надо проводить все наблюдения над У.

ПРИМЕР 2. Пусть параметр принимает два значения а случайные величины принимают значения 0 и 1, причем

Докажем, что эксперимент У достаточен для X, и заодно продемонстрируем другой метод установления достаточности эксперимента.

Нам надо показать (см. условие (6) § 14.17.), что найдется неотрицательная функция для которой как при так и при выполнены следующие соотношения:

Поскольку может принимать два значения, 0 или 1, (4) является фактически системой из четырех уравнений для четырех неизвестных Но мы знаем, что при кроме того, в силу условия (7) § 14.17 Поэтому достаточно решить пару уравнений, отвечающих случаю в (4). Подставляя численные значения, находим

Единственное решение этих уравнений таково: Отсюда следует, что, Так как каждое из этих чисел лежит в интервале [0, 1], то функция задает стохастическое преобразование Значит, эксперимент достаточен для

Общие условия, при которых одна случайная величина достаточна для другой в эксперименте с двумя исходами, вроде рассмотренного здесь, приведены в упр. 19.

ПРИМЕР 3. Предположим, что параметр принимает произвольные вещественные значения, а случайные величины со следующими распределениями; при всяком фиксированном значении параметра случайная величина X нормально распределена со средним и дисперсией 3, а случайная величина нормально распределена со средним и дисперсией 1. Так как дисперсия меньше, то понятно, что наблюдение над доставляет больше информации о значении чем наблюдение Мы формализуем это утверждение, показав, что случайная величина достаточна для

Пусть случайная величина, не зависящая от нормально распределенная со средним 0 и дисперсией 2. Тогда при всяком фиксированном значении случайная величина

имеет то же распределение, что и X, откуда и следует достаточность Y для X.

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Достаточные эксперименты обсуждаются в книгах Блекуэлла и Гиршика (1954), гл. 12, и Лемана (1959), § 3.4, а также в лекциях Сакагути (1964, 1966), в которых рассмотрены некоторые из обсуждавшихся в этой и предыдущей главах задач. На более абстрактном уровне эти вопросы изучались Ле Камом (1964), Штрассеном (1965), Морсом и Сакстедером (1966) и Сакстедером (1967).

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление