Главная > Обработка сигналов, моделирование > Оптимальные статистические решения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12.14. Последовательный критерий отношения вероятностей

В качестве применения результатов предыдущих параграфов рассмотрим задачу последовательного решения с параметрическим пространством и пространством решений Каждое пространство, таким образом, состоит ровно из двух точек, а функция потерь дается таблицей 12.3, где

Таблица 12.3 (см. скан)

Предположим, как и раньше, что мы можем наблюдать последовательную повторную выборку каждое наблюдение которой стоит с единиц. Для обозначим через условную о. в. п. наблюдения X при Так как параметр может принимать всего два значения, то его распределение на каждом шаге процесса выбора задается одним числом

Из таблицы 12.3 видно, что риск от немедленного принятия решения равен

Обозначим через А класс всех процедур последовательного решения требующих проведения хотя бы одного наблюдения, и положим при

Таким образом, байесовский риск удовлетворяет следующему соотношению:

Нетрудно показать, что вогнутая непрерывная функция на интервале (см. упр. 9). Далее, так как в риск каждой процедуры входит по крайней мере цена с, то

при всех Графики функций приведены на рис. 12.3.

Пусть, как и раньше, В — это множество тех значений для которых оптимальным является окончание выбора. Таким образом,

Предположим сначала, что

В случае, рассмотренном на рис. 12.3, это условие выполняется и ясно, что В является здесь объединением интервалов а и удовлетворяют следующим уравнениям:

С другой стороны, если (5) не имеет места, то из соответствующего рисунка видно, что В совпадает со всем интервалом

Рис. 12.3. Риски

В этом случае, независимо от вида априорного распределения проводить наблюдения не имеет смысла.

Множество В задает байесовскую процедуру последовательного решения. Трудность состоит в получении информации о функции достаточной для того, чтобы явным образом определить значения и Точные формулы известны лишь в нескольких специальных случаях, но в следующих двух параграфах будут даны полезные приближенные формулы для общего случая.

Предположим, что априорная вероятность удовлетворяет условию предыдущих рассуждений следует, что в этом случае провести первое наблюдение целесообразно. Далее,

если апостериорная вероятность того, что при наблюденных значениях то, согласно оптимальной процедуре, дальнейшие наблюдения надо проводить, если выполнено соотношение

Если нарушается первое неравенство в (7), то наблюдения больше проводить не стоит и следует принять решение Если же не выполняется второе неравенство в (7), то выбор надо закончить, приняв решение

Апостериорную вероятность можно записать так:

Определим постоянные следующим образом:

Так как Далее, из соотношения (7) вытекает, что, согласно оптимальной процедуре, дальнейшие наблюдения целесообразно проводить, если

В противном случае процесс выбора должен быть закончен. Если в (11) нарушено первое неравенство, надо принимать решение Если же не выполнено второе неравенство, то следует принять решение Таким образом, задача построения оптимальной процедуры последовательного решения свелась к задаче оптимального выбора постоянных А и В.

Процедура последовательного решения такого вида с постоянными при которой выбор продолжается в случае выполнения соотношения (11), называется последовательным критерием отношения вероятностей. Процедуры этого типа исторически были первыми методами в последовательном анализе. Они были разработаны Вальдом (1947).

Прежде чем перейти к детальному изучению свойств последовательных критериев отношения вероятностей, рассмотрим вновь в свете полученных здесь результатов пример 2 § 12.6. Как мы только что видели, в задаче с двухточечными множествами оптимальная процедура последовательного решения либо предписывает принять решение без проведения наблюдений, либо совпадает с последовательным критерием отношения вероятностей.

В примере 2 § 12.6 было, однако, показано, что при некоторых априорных распределениях, согласно оптимальной процедуре, надо провести ровно одно наблюдение и затем окончить процесс выбора. Может показаться, что эти результаты противоречат друг другу. Но это не так. Указанные факты показывают только, что в этом примере пределы оптимального последовательного критерия отношения вероятностей близки настолько, что отношение правдоподобия отвечающее первому наблюдению не может удовлетворять соотношению (11).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление