Главная > Обработка сигналов, моделирование > Оптимальные статистические решения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12.9. Существование оптимальной процедуры

Если произвольные к процедур последовательного решения из класса то мы определим как процедуру последовательного решения из предписывающую проведение очередного наблюдения на данном шаге, если это наблюдение предписывается хотя бы одной из процедур Таким образом, согласно процедуре выбор продолжается столько шагов, сколько он длился бы согласно по крайней мере одной из процедур и оканчивается, как только наблюденные значения удовлетворят условию при Наконец, если бесконечная последовательность процедур решения из то аналогичным образом определяется Имеет место следующая лемма.

Лемма 1. Если регулярные процедуры и то процедура регулярна и при

Доказательство. Процедура совпадает с за тем исключением, что могут наблюдаться значения для которых предписывает окончить выбор, а велит продолжать наблюдение согласно . В таких точках выполняется следующее соотношение:

Первое равенство здесь следует из того факта, что процедуры и согласуются после наблюдений Неравенство в (1) вытекает из того, что регулярная процедура требует продолжения процесса выбора. Последнее равенство в (1) означает, что при процедуре 64 выбор оканчивается. Следовательно, Аналогичные рассуждения показывают, что и

Лемма 2. Пусть последовательность регулярных процедур решения и Тогда процедура регулярна для всех и выполнены следующие неравенства.

Доказательство. Так как то из леммы 1 следует регулярность процедур а также справедливость соотношения (2) при соотношения (3) при Далее, так как то опять-таки из леммы 1 и доказанных свойств процедуры вытекает регулярность процедуры и справедливость соотношения (2) при и соотношения (3) при Доказательство завершается рассуждением по индукции.

Используя то обстоятельство, что каждая из процедур принадлежит классу А, нетрудно показать, что и каждая из процедур также лежит в этом классе. Таким образом, при Согласно следующей лемме, процедура также принадлежит классу А.

Лемма 3. Пусть процедуры решения определены, как в лемме 2 и Тогда

Доказательство. Для всякой процедуры решения или момента остановки и каждого натурального числа имеем

Следовательно, из (3) и соотношения (1) § 12.7 вытекает, что при всех натуральных

Поэтому

Из определения процедур следует, что для всякого натурального при Таким, образом,

Теперь ясно что

Соотношение (7) равносильно тому, что

Мы покажем теперь, что риск процедуры у не превосходит риска каждой из процедур исходной последовательности. Нам понадобится следующий результат, известный как теорема фату — Лебега, доказательство которого имеется, например, у Лоэва (1963), стр. 135, и у Крикеберга (1965), стр. 43.

Теорема Фату — Лебега. Пусть последовательность неотрицательных функций, заданных на пространстве -функция на равная

Тогда

Лемма 4. Пусть процедуры решения определены, как в леммах 2 и 3. Тогда при

Доказательство. Для каждой процедуры как момент остановки так и риск могут рассматриваться как функции на пространстве Из определения процедуры у видно, что Далее, согласно лемме 3, с вероятностью 1 выполняется соотношение

Поэтому с вероятностью 1 верно равенство

Из соотношения (1) § 12.7 и теоремы Фату — Лебега вытекает теперь, что

Из соотношений (13), (2) и (3) следует (10).

Теперь мы можем доказать наш основной результат.

Теорема 1. В классе А существует оптимальная процедура последовательного решения.

Доказательство. Пусть последовательность процедур из А, для которой

Можно считать, что каждая из процедур регулярна. Положим Из лемм 3 и 4 видно, что и

Поэтому из (14) следует, что

Так как то в (16) должен иметь место знак равенства; тем самым процедура оптимальна.

Дальнейшие замечания и ссылки на литературу. Общая теория оптимальных процедур последовательного решения была создана Вальдом (1950). Дальнейшие исследования в этой области проводились Эрроу, Блекуэллом и Гиршиком (1949), Вальдом и Вольфовицем (1950) и Камом (1955). При доказательстве существования оптимальной процедуры мы следовали в основном работам Чжоу и Роббинса (1963, 1967b).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление