Главная > Разное > Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.21. Теорема разложения.

Положим, что

где полиномы, причем степень не выше степени Кроме того, предполагается, что не имеет корня, равного нулю.

Полагая в уравнении

можем написать:

причем суммирование ведется по всем корням уравнения

Последнее уравнение, очевидно, имеет корень, равный нулю, и мы положим

Выражение, входящее в знаменатель (1), может быть написано так:

При обращается в нуль второе слагаемое, а при обращается в нуль

Выделяя в уравнении (1) слагаемое, соответствующее получим:

Удобно несколько изменить обозначения в последней формуле, считая что полином имеет степень (а не как это следовало из предыдущего), — и пронумеровать корни уравнения от единицы до Тогда формула (2) приобретает вид:

Соотношение (3) носит название теоремы разложения Хевисайда и дает решение интегрального уравнения Лапласа

Как упоминалось выше, и -полиномы от причем имеет степень степень не выше

Уравнение

не имеет кратных корней, равных нулю.

Суммирование в уравнении (3) ведется по всем корням уравнения (4).

Формулы (3) и (4) [2.21 совершенно идентичны и позволяют решать весьма большое число практических задач. Однако приходится сталкиваться с задачами, когда эти формулы не могут быть применены непосредственно, например, вследствие того, что уравнение (4) имеет кратные корни. В этих случаях нам окажут помощь некоторые теоремы, которые будут доказаны дальше.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление