Главная > Разное > Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Решение уравнения Лапласа для случая, когда правая часть уравнения представляет собой рациональную дробь.

Пусть рассматриваемое уравнение имеет вид:

где полиномы от причем степень числителя ниже степени знаменателя. Таким образом:

Предположим, кроме того, что уравнение

имеет только простые корни, т. е.

где корень уравнения (2).

В этом случае, как известно, рациональная дробь может быть разложена на простейшие дроби, т. е. можно написать:

или

где постоянные коэффициенты.

Эти коэффициенты определяются следующим образом. Умножив обе части равенства (3) на получим:

Положим теперь равным после чего в правой части равенства второе слагаемое, содержащее множитель обратится в нуль. В левой части равенства мы получим неопределенность, так как обращается в нуль при Раскрывая эту неопределенность по формуле Лопиталя, найдем

где — производная взятая при значении

Совершенно аналогично можем определить Таким образом, можем написать:

причем

Разложение рассматриваемой дроби на простейшие теперь приобретает следующий вид:

Прямой подстановкой легко убедиться, что интегральному уравнению

удовлетворяет функция

Таким образом, нам удалось представить правую часть интегрального уравнения (1) в виде суммы функций от причем для каждого слагаемого мы можем сразу написать решение соответствующего ему уравнения.

Воспользовавшись изложенными выше [2.1] свойствами решений уравнения Лапласа, можем написать:

Эта формула дает решение поставленной задачи, и мы будем в дальнейшем ею пользоваться. Формула (4) была известна №. Ващенко-Захарченко еще в 1862 г.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление