7.2. Теорема разложения.
Теорема разложения была нами ранее доказана для случая, когда преобразованная функция представляла собою рациональную дробь.
Для того чтобы обосновать применение этой теоремы к задачам другого типа и, в частности, к задачам, рассмотренным в этой книге, приведем доказательство для одного случая, который представляет весьма значительный практический интерес.
Предположим, что функция
не имеет иных особых точек, кроме полюсов, т. е. является мероморфной функцией, и пусть, все полюсы этой функции будут первого порядка. Кроме того, согласно сказанному в [7.1], мы можем считать, что все особые точки
лежат левее некоторой прямой
проведенной в плоскости комплексного переменного (рис. 35). Правее этой прямой функция будет голоморфной и с возрастанием модуля
стремится к нулю.
Теперь обозначим особые точки
через
и предположим, что нумерация полюсов происходит в порядке возрастания модуля
т. е.
Проведем последовательность окружностей
с центрами в начале координат, с радиусами соответственно
так, чтобы
Предположим, кроме того, что окружности
можно провести таким образом, чтобы при неограниченном возрастании номера окружности, или, что то же, с возрастанием
функция
на этой окружности стремилась к нулю равномерно относительно аргумента
Рис. 35.
Рассмотрим теперь интеграл при
взятый по контуру
составленному из отрезка прямой
и дуги окружности
(окружность
радиуса
Согласно теореме о вычетах, можем написать:
здесь через обозначен вычет функции
в точке
Если выберем
достаточно большим, то сможем сделать интеграл, взятый по дуге
сколь угодно малым, так как с увеличением
значение функции на пути интегрирования стремится к нулю. По отношению к интегралам, взятым по отрезкам
это очевидно, так как путь интегрирования остается конечным; в отношении интеграла, взятого по полуокружности
это вытекает из леммы Жордана.
Отсюда мы заключаем, что при стремлении
к бесконечности можно рассматривать интеграл как распространенный по всей бесконечной прямой
Таким образом, можем написать:
а следовательно, согласно формулам Римана — Меллина, получим:
Если
представлена как
где
целые функции, то особыми точками
будут корни уравнения
причем в нашем случае эти корни — простые.
Вычисляя обычными методами вычеты
получаем:
и, применяя правило Лопиталя, находим:
Таким образом, формула (1) приобретает вид:
Это и есть обобщение формулы (4) [2,2] на случай мероморфных функций.
Дальнейшие преобразования не представляют труда, и мы окончательно получаем формулу разложения в следующей форме:
Эта формула представляет собою обобщение формулы
причем здесь сохранены обозначения, принятые в формуле (3).