Главная > Разное > Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.1. Формулы обращения Римана — Меллина.

Пусть — функция вещественного переменного удовлетворяющая условиям:

а) в каждом конечном интервале конечна и имеет только конечное число конечных скачков;

б) в точках непрерывности существует первая производная

в) интеграл

сходится абсолютно, причем некоторое постоянное вещественное число.

Рассмотрим теперь функцию которая связана с посредством соотношения

Вследствие условий, наложенных на можно к функции применить интегральную теорему Фурье.

Таким образом, можем написать:

Умножая обе части этого равенства на получим:

Положим теперь

тогда можем написать:

При изменении от вещественная часть остается постоянной, равной а мнимая часть пробегает все значения от до Следовательно, интегрирование по ведется в плоскости комплексного переменного по прямой параллельной мнимой оси и проходящей вправо от последней на расстоянии причем интегрирование ведется в сторону возрастающих (рис. 33).

Рис. 33.

Интеграл, взятый по этому пути, условно обозначается, как это сделано в формуле (1, пределами

Обозначим теперь внутренний интеграл через т. е. напишем:

Тогда равенство (1) приобретает вид:

Отсюда можем сделать заключение, что если определяется формулой (2), то должна определяться формулой (3). Иначе говоря, формула (2), рассматриваемая как уравнение относительно влечет за собою в качестве решения формулу (3).

Полученные формулы (2) и (3) носят, обычно, название формул обращения Римайа — Меллина.

Приведенное доказательство позволяет утверждать, что если существует функция удовлетворяющая условиям

при некотором а также уравнению (2), то эта функция будет найдена посредством формулы (3). Однако мы не можем пока утверждать, что из формулы (3) следует формула (2), ибо не представляется очевидным, что при произвольном найденная по формуле (3) функция будет удовлетворять упомянутым выше условиям. Иначе говоря, приведенное рассуждение не является доказательством существования решения ураэнения (2).

Однако при некоторых ограничениях, налагаемых на формула (3) влечет, как следствие, формулу (2), т. е. формулы обращения Римана — Меллина будут иметь силу в обоих направлениях, или, иначе говоря, будут взаимными. Доказательство последнего положения мы не приводим и отметим только, что это доказательство можно найти в различных руководствах.

Теперь перейдем к рассмотрению специального случая, представляющего для наших целей наибольший интерес. Предположим, что функция определяется следующим образом:

и

где произвольная функция, однако такая, чтобы она удовлетворяла всем поставленным выше условиям.

В этом случае, как нетрудно видеть, в формуле (2) интегрирование в пределах можно заменить интегрированием в пределах и Следовательно, можно написать:

причем определяется посредством соотношения

при

При значение интеграла (5) должно равняться нулю.

Здесь преобразованную функцию обозначаем через а не через как это было сделано ранее.

Таким образом, приходим к заключению, что формула (5) позволяет найти функцию удовлетворяющую интегральному уравнению (4), причем последнее совпадает с уравнением (1) [1.1] и является основным уравнением задачи.

Однако в предыдущем рассмотрении остался не окончательно решенным вопрос о выборе пути интегрирования в формуле (5). Ранее было указано, что путь интегрирования представляет собою бесконечную прямую линию в плоскости комплексного переменного проходящую параллельно мнимой оси, на расстоянии от последней. Под подразумевалось любое вещественное число, при котором удовлетворялось условие Таким образом, в соответствии с предыдущими рассуждениями, мы можем выбирать различными способами, а следовательно, перемещать путь интегрирования параллельно самому себе.

Если ограничиться рассмотрением уравнения (4), которое в нашем случае представляет интерес, то вопрос о выборе пути интегрирования решается весьма просто, в связи с тем дополнительным условием, чтобы функция, определяемая формулой (5), обращалась тождественно в нуль для отрицательных значений Как будет показано ниже, путь интегрирования в. этом случае необходимо выбрать таким образом, чтобы все особые точки функции лежали левее этого пути, причем значение интеграла (5) не будет, меняться, если выбирать произвольно (перемещать прямую параллельно самой себе).

Если обратиться к рассмотрению преобразованных функций встречающихся в различных задачах, то можно прийти к заключению, что во всех случаях функции имеют особые точки, только левее некоторой прямой, параллельной мнимой оси. Иначе говоря, всегда можно провести такую прямую, что все особые точки будут лежать левее этой прямой, а во всей полуплоскости, лежащей правее этой прямой, функция будет аналитической. Кроме того,

если неограниченно увеличивать по модулю, оставаясь правее упомянутой прямой, то будет стремиться к нулю.

Эти обстоятельства не являются случайными и непосредственно связаны с определением преобразованных функций.

Из соотношения

посредством интегрирования по частям легко получаем

Если предположить, что ограничена во всем интервале то при получим

Если, кроме того, допустить, что в этом же интервале ограничена и производная интеграл в скобке заведомо существует и всё выражение, стоящее в скобках, имеет конечное значение. Отсюда непосредственно следует, что стремится к нулю при увеличении по модулю, при условии, что

Если имеет конечное число конечных разрывов, можно разбить интервал интегрирования таким образом, чтобы подинтегральная функция в каждом частном интервале оставалась непрерывной. Повторяя применительно к каждому интегралу рассуждения, подобные приведенным выше, приходим к прежнему результату.

Предположим теперь, что имеет бесконечный разрыв при однако интеграл (6) остается конечным. Выделяя вблизи интервал и разбивая весь промежуток интегрирования на участки: — и упомянутый выше интервал получим три интеграла, причем в двух из них подинтегральная функция остается ограниченной.

Ввиду сходимости (6) можем выбрать таким образом, чтобы

где сколь угодно малое положительное число.

Таким образом,

При стремлении модуля к бесконечности интегралы, стоящие в правой части, стремятся к нулю при любом конечном 8, если во всех точках, за исключением удовлетворяет упомянутым выше условиям. Таким образом,

Так как может быть выбран сколь угодно малым, мы заключаем, что интеграл (6) стремится к нулю при неограниченном возрастании вещественная часть остается большей нуля.

Если, наконец, не остается ограниченной при неограниченном возрастании а увеличивается по модулю, как где то, как легко видеть, стремится к нулю при неограниченном возрастании при условии, что

Если теперь предположить, что непрерывная функция от и где — постоянные числа, то интеграл (6) сходится равномерно во всей области следовательно, этой области является аналитической функцией и не имеет здесь особых точек. Это будет иметь место также и при некоторых более общих условиях.

Таким образом, видим, что если интегральное уравнение (6) имеет решением функцию подчиняющуюся некоторым довольно общим условиям, то должна иметь особые точки только левее некоторой прямой, параллельной мнимой оси, и стремится к нулю правее этой прямой, при неограниченном возрастании модуля

Рис. 34.

Теперь можем легко убедиться, что интеграл (5) обращается в нуль при Рассмотрим интеграл

взятый по контуру образованному отрезком прямой и дугой окружности С, радиуса имеющей центр в начале координат (рис. 34). Прямая проведена параллельно мнимой оси, на расстоянии от последней таким образом, чтобы все особые точки лежали левее этой прямой. Согласно теореме Коши, ввиду того, что внутри контура отсутствуют особые точки, можем написать:

Однако в части плоскости, лежащей правее прямой выполняются условия леммы Жордана и, следовательно, при возрастании радиуса при интеграл по С стремится к нулю. Таким образом, приходим к заключению, что

Примеч ание, Лемма Жордана может быть сформулирована следующим образом.

Если стремится к нулю (равномерно относительно аргумента когда стремится к бесконечности в области

и если — аналитическая, когда (с постоянная) и и если то

где полукруг радиуса лежащий левее мнимой оси с центром в начале координат.

Если то имеет силу аналогичная формулировка этой леммы, но в качестве пути интегрирования нужно в этом случае выбрать полуокружность, лежащую в правой полуплоскости и Условия, которым удовлетворяла в предыдущем случае в левой полуокружности, должны теперь выполняться при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление