4.6. ОПТИМИЗАЦИЯ КАНАЛОВ ПО ИНФОРМАЦИОННЫМ КРИТЕРИЯМ

В системах без помехоустойчивого кодирования оптимизация модемов обычно осуществляется по критерию минимума вероятности ошибки. В системах с кодированием (рис. 1.2) модем вместе с аналоговым каналом составляет дискретный (либо дискретно-непрерывный) канал, который должен быть согласован с кодеком. Вообще говоря, совместной оптимизации подлежат как модем, так и кодек. Учитывая обменный характер скорости и верности передачи при кодировании, требование обеспечения заданной вероятности ошибки на выходе декодера дополняется требованием сохранения высокой скорости передачи.

Оптимизация систем с кодированием по критерию минимума ошибки представляет значительные трудности. Лишь в некоторых частных случаях на основе численных расчетов удается получить конечные результаты. Многообразие кодов и методов модуляции порождает большое число вариантов пар «кодек-модем». Использование же информационных критериев, рассмотренных в гл. 1, позволяет прежде всего выявить общие свойства систем передачи информации.

Потенциальную эффективность будем оценивать коэффициентами (2.51): Полагаем, что передача информации производится -мерными сигналами. Пусть вектор сигнала на входе канала; вектор сигнала и помехи на выходе канала. Каждому символу сообщения на входе модулятора соответствует сигнал (см. рис. 1.2), каждой реализации вектора X на входе демодулятора соответствует символ решения на его выходе. В дискретно-непрерывном канале т. е. на вход декодера подается вся информация с выхода аналогового канала без какой-либо обработки в демодуляторе.

Распределение сигнала на входе описывается набором вероятностей объем ансамбля сигналов. Считается известной также -мерная условная плотность вероятности

Пропускная способность канала есть максимум удельной скорости (взаимной информации на одно измерение) по всем возможным распределениям входного сигнала

Здесь энтропия входного сигнала а условная энтропия

В симметричных каналах максимум взаимной информации достигается при равновероятных сигналах на входе. В этом случае энтропия условная энтропия (4.42)

Если обозначить отношение плотностей вероятностей

то выражение для пропускной способности дискретно-непрерывного симметричного канала с учетом выражений мож но представить в виде

Условием симметрии канала является равенство частной и средней взаимной информации: Если это условие не выполняется, выражение (4.44) определяет максимум удельной скорости передачи информации по несимметричному полунепрерывному каналу при равновероятных входных сигналах.

Условная плотность вероятности сигнала на выходе канала с гауссовским шумом

а отношение плотностей

Введя нормированные переменные после подстановки выражений (4.45), (4,46) в формулу (4.44), получим

Используя это выражение, определяем пропускную способность, некоторых дискретно-непрерывных каналов, а также предельную, эффективность систем с такими каналами,

Как показано в § 2.3, при использовании ансамбля одномерных сигналов сигнальные точки располагаются на прямой. При равномерном распределении сигнальных точек реализуется плотнейшая их укладка (рис. 4.13, б). Если расстояние между соседними сигналами то средняя энергия ансамбля равновероятных сигналов четное. Канал с такими одномерными сигналами симметричен только при а также приближается к симметричному с ростом числа сигналов в ансамбле Из выражения (4.47) следует, что при пропускная способность

Это выражение позволяет определить коэффициенты предельной эффективности Результаты расчетов зависимостей Для дискретно-непрерывных каналов с одномерными сигналами показаны на рис. 4.13 (сплошные линии) Здесь же показана зависимость для систем с непрерывным каналом. При большом отношении сигнал-шум (малой эффективности), как следует из формулы (4.48), удельная скорость передачи Однако с ростом -эффективности удельная скорость при фиксированном числе позиций сигнала снижается и кривые приближаются к предельной кривой для непрерывного канала. Кривые предельной эффективности делят всю область возможных значений на зоны, внутри которых располагаются реальные системы с эффективностью ниже предельной.

Рассмотрим пропускную способность дискретно-непрерывных каналов с двумерными сигналами Типичными здесь

являются сигналы, изображающие точки которых расположены в узлах квадратной сети (рис. 4.14,а). При эти сигналы не обеспечивают плотнсйшую укладку областей сигналов, однако, как показано в § 2.3, уступают оптимальным сигналам незначительно, Результаты расчетов эффективности для этого случая по формуле (1.47) показаны на рис. 4.14 (сплошные линии дискретно-нспрерывные каналы с двумерными сигналами квадратной сети). Как и в случае одномерных сигналов, с ростом энергетической эффективности кривые приближаются к предельной кривой для непрерывного канала.

Рис. 4.13. Кривые предельной эффективности систем с одномерными сигналами

Рис. 4.14. Кривые предельной эффективности систем с двумерными сигналами

Представляет интерес также оценка пропускной способности и предельной эффективности, если передача сообщений производится по каналам с сигналами, имеющими одинаковые энергии. В случае каналов с двумерными сигналами сигнальные точки будут равномерно расположены на окружности, как показано на рис. 4.14, б. Такие сигналы реализуют плотнейшую поверхностно-сферическую укладку. Каналы с такими сигналами относятся к классу симметричных, и формула (4.48) может быть использована для расчета их пропускной способности. Результаты расчетов для этого случая показаны на рис. 4.14 (штриховой линией). Видно, что по величине предельной эффективности системы с такими каналами проигрывают, в особенности при больших значениях Объясняется это плохим использованием пространства сигналов, расположенных на окружности, по сравнению с сигналами плотной укладки.

Рассмотрим дискретный расширенный канал. В таком канале объем алфавита символов на выходе больше объема алфавита - сигналов на входе Типичным примером является одномерный

двоичный по входу дискретно-непрерывный канал, выход которого квантуется на зон (рис. 4.15,а). Горизонтальными линиями показаны границы зон квантования. В отличие от квантования на две зоны жесткое решение) на выходе такого расширенного канала используется мягкое решение. По пропускной способности каналы с расширенным алфавитом на иыходе занимают промежуточное положение между собственно дискретными каналами (объемы алфавитов на входе и выходе совпадают) и дискретно-непрерывными каналами, к которым они приближаются при

Рис. 4.15. Кривые предельной эффективности систем с двоичным расширенным каналом

Граф вероятностей переходов входных символов в выходные символы в двоичном расширенном канале показан на рис. 4.15, а. Пропускную способность такого канала можно определить используя дискретный вариант формулы (4.44) при

где

Условные вероятности переходов определяются интегрированием условных плотностей в пределах нормированных зон

При симметричном расположении зон квантования относительно сигнальных точек, как показано на рис. 4.15, а, двоичный расширенный канал является симметричным. Пропускная способность такого канала и коэффициенты эффективности могут быть определены по формулам:

Величина и расположение зон квантования оказывают влияние на пропускную способность расширенного канала. На рис. 4.15 приведены результаты расчетов эффективности при равномерном квантовании и оптимальной ширине зоны. Оптимальная ширина нормированной зоны зависит от отношения сигнал-шум и числа зон квантования Квантование выхода непрерывного канала на два уровня жесткое решение) снижает эффективность примерно на по сравнению со случаем, когда используется дискретно-непрерывный канал Мягкое решение с числом зон либо позволяет почти полностью реализовать пропускную способность непрерывного канала.

Рассмотрим пропускную способность дискретных каналов. Дискретный по входу и выходу капал является частным случаем дискретного расширенного канала при Пропускная способность симметричного дискретного капала с -мерными сигналами может быть вычислена по формуле

В -мерных каналах симметрия достигается при использовании эквидистантных сигналов (ортогональных либо симплексных). В этом случае вероятности всех ошибочных переходов одинаковы. Для симплексных сигналов Как следует из выражения пропускная способность в этом случае

Здесь вероятность ошибки может быть определена по формулам, приведенным в § 2.2.

Предельная эффективность, определяемая пропускной способностью используемого канала, характеризует системы, в которых при декодировании информация о передаваемых символах извлекается полностью. Максимальной эффективностью обладают системы, в которых сообщения передаются по непрерывному каналу. Приближаться к этой границе можно различными способами. Если размерность пространства в котором располагаются сигналы, и объем ансамбля конечны, то достижение этой границы возможно, очевидно, только при удельной скорости Это следует из кривых, приведенных на рис. 4.13, 4.14. Если в одномерном пространстве (рис. 4.13) использовать ансамбль с числом сигналов то запас по энергетической эффективности от точки когда частотная эффективность еще не снижается до предела, достаточно велик и составляет Приближение к пределу, определяемому пропускной способностью непрерывного канала, возможно, если перейти к дискретно-непрерывному каналу с При этом исходная удельная скорость

снижается до величины, равной 2 бит/с на отсчетг но остающийся до предела запас значительно уменьшается и равен При переходе этот запас будет еще меньше.

Использование каналов с многопозиционными сигналами является не единственным условием приближения к предельной эффективности. Передача сообщений с эффективностью, близкой к предельной, и малой вероятностью ошибки требует применения помехоустойчивого кодирования. Снижение по мере приближения к пределу (при фиксированном числе сигналов в ансамбле) можно трактовать как уменьшение информационной скорости при использовании достаточно длинных корректирующих кодов. В рассмотренном выше примере (см. рис. 4.13) точкой В изображена эффективность системы, в которой использованы канал с одномерными сигналами, с объемом ансамбля и кодек помехоустойчивого кода со скоростью идеально согласованный с таким каналом. При этом код предполагается настолько длинным, чтобы ошибками на выходе декодера при определении удельной скорости можно было пренебречь. Таким образом, кривые предельной эффективности дают представление о характеристиках системы передачи информации при полном согласовании модема и кодека. При наличии потерь информации в канале эффективность системы передачи будет меньше предельной.