3.7. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ПРИ МОДУЛЯЦИИ СЛУЧАЙНЫМ ПРОЦЕССОМ

Рассмотрим особенности и средней мощности модулированных колебаний на примере гармонической несущей. Модулирующий процесс (первичный сигнал) будем предполагать стационарным с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией Модулированное колебание в этом случае также является случайным процессом. Однако, как показано ниже, при стационарном модулирующем процессе модулированный процесс оказывается нестационарным. Тем не менее можно определить средней мощности таких процессов как преобразование Фурье от усреднённой во времени процесса. Полученная средней мощности вполне соответствует физическому представлению о средней мощности модулированного колебания.

Чтобы найти аналитическое выражение для средней мощности модулированного колебания, нужно, исходя из распределения и корреляционной функции модулирующего процесса найти корреляционную функцию модулированного процесса. Сначала решим эту задачу для В этом случае модулированный процесс

где центрированный стационарный случайный процесс с корреляционной функцией Будем считать вероятность того, что значения случайного процесса выходят за пределы отрезка пренебрежимо малой. На практике этого можно достичь соответствующим ослаблением модулирующего сигнала на входе модулятора. Раскрыв в (3.92) скобки, получим

откуда видно, что процесс имеет переменное математическое ожидание Этому слагаемому соответствуют дискретная составляющая на частоте величиной и корреляционная функция Первое слагаемое в правой части (3.93) представляет собой нестационарный центрированный случайный процесс полученный умножением стационарного процесса на неслучайную функцию времени В соответствии с формулами гл. 2 для корреляционной функции процесса имеем

Усреднив это выражение по переменной получим

Из (3.94) заключаем, что при усреднённая корреляционная функция центрированного модулированного процесса получается умножением корреляционной функции модулирующего процесса на множитель где крутизна характеристики модулятора при Корреляционной функции (3 94) соответствует

где - СПМ модулирующего процесса определённая как по положительным, так и по отрицательным частотам; спектр сдвинутый соответственно вправо и влево (в область отрицательных частот) на величину Суммарная усреднённая СПМ, соответствующая процессу (3.93), определяется на положительных частотах формулой

Рассматривая (3.95), делаем вывод, что сплошная часть СПМ для АМ процесса состоит из двух боковых полос, являющихся "зеркальным отражением" друг друга относительно частоты На сплошную часть спектра приходится средняя мощность мощность модулирующего процесса), а на дискретную составляющую — мощность Полная средняя мощность процесса равна где амплитуда несущей. Таким образом, теоретико-вероятностный подход в случае АМ целиком согласуется с выводами, полученными ранее для АМ при детерминированном первичном сигнале.

Заметим, что, как следует из (3.94) и (3.95), усреднённые во времени ФК и СПМ АМ колебания совершенно не зависят от распределения модулирующего процесса а определяются полностью его корреляционной функцией или, что то же, его СПМ. Это одно из главных свойств амплитудной модуляции. Иначе обстоит дело в случае угловой модуляции, которую сейчас рассмотрим.

Случайным образом модулированную по углу гармоническую несущую запишем в виде

где случайный процесс, связанный с модулирующим процессом соотношениями

Процесс (3.97) нестационарен даже при стационарности (см. гл. 2). Поскольку центрирование процесса (3.96) в общем случае затруднено, определим функцию корреляции этого процесса без его центрирования:

Выполним теперь усреднение (3.98) по времени. Слагаемое, содержащее косинус двойного угла, при этом обращается в нуль, и получаем

Здесь обозначено

Обратим внимание на то, что в отличие от АМ при угловой модуляции синусоидального переносчика ФК модулированного колебания и его СПМ зависят от распределения случайного процесса (3.100), а следовательно, и распределения модулирующего процесса Если одномерное распределение выражается чётной функцией своего аргумента, то

Если модулирующий процесс стационарен и распределён нормально, тогда и как линейное преобразование этого процесса, представляет собой нормальный процесс с нулевым средним значением, но в случае преобразования (3.97) он нестационарен. Следовательно, дисперсия этого процесса в общем случае зависит не только от корреляционной функции процесса но и от времени. Используя табличный интеграл, получаем для математического ожидания в рассматриваемом случае

и вместо (3.101) можно написать

Сравнивая (3.102) с (3.94), можно заметить, что если иметь в виду лишь вид корреляционной функции модулированного сигнала (следовательно, и его СПМ), то угловая модуляция нормальным случайным процессом с корреляционной функцией эквивалентна модуляции амплитуды случайным процессом, корреляционная функция которого

Можно показать, что сказанное остаётся справедливым и при другом (не нормальном) распределении модулирующего сигнала как для ФМ, так и для ЧМ, только зависимость меняет вид.

Зависимость (3.103) косвенно отражает тот факт, что при одном и том же модулирующем сигнале спектр АМ колебания не шире, чем при угловой модуляции. В самом деле, характер этой зависимости (для всех представляющих практический интерес случаев) такой, что всегда не шире (т.е. убывает быстрее), чем Но более "узкой" корреляционной функции соответствует более "широкий" спектр.

Благодаря множителю тот в корреляционной функции (3.102) сплошная часть СПМ гармонического переносчика, модулированного стационарным случайным процессом, имеет локальный экстремум на частоте Поскольку это усреднённая корреляционная функция некоторого случайного процесса, чётная функция от то чётной же функцией от оказывается и множитель Последнему соответствует чётное же преобразование Фурье всегда имеющее при экстремум. Множитель мот, как уже отмечалось при рассмотрении АМ, соответствует переносу спектра в область частоты так, что экстремум оказывается на этой же частоте.

Для случая модуляции по фазе

где коэффициент корреляции модулирующего процесса . В этом случае усреднённая корреляционная функция модулированного сигнала

ФК (3.106) соответствует СПМ

К сожалению, интегрирование (3.107) в общем виде затруднено. Поэтому рассмотрим решение при двух крайних значениях параметра зависящего как от мощности модулирующего сигнала так и от крутизны характеристики модулятора

Если то, разлагая в ряд и ограничиваясь двумя первыми членами, имеем

ФК (3.108) соответствует СПМ на положительных частотах

который похож на спектр при Дискретная составляющая спектра на частоте имеет среднюю мощность а две зеркальные относительно полосы, образующие сплошную часть спектра, имеют суммарную среднюю мощность Общая средняя мощность как и должна быть при ФМ. Доля мощности "полезной" сплошной части спектра очень мала, так что рассматриваемый случай имеет малый практический интерес.

Если то целесообразно разложить в рад Маклорена:

где производная по при аргументе 0. Компоненты с нечётными степенями отсутствуют в этом раду, так как является чётной функцией Видно также, что вторая производная от при

Поскольку при весомые значения экспоненты в (3.106) лежат в областях, где близок к 1, т.е. мало, то можно ограничиться первыми двумя членами рада (3.110) и получить соотношение

Корреляционной функции гауссовской формы соответствует и СПМ той же формы

а умножение корреляционной функции на соответствует, как известно, переносу спектра вправо и влево (в область отрицательных частот) на величину Таким образом, корреляционной функции (3.113) соответствует СПМ на положительных частотах

При выражение (3.115) стремится к дельта-функции Итак, можем утверждать, что, если колебания имеет только сплошную часть, форма которого гауссовская независимо от формы спектра модулирующего процесса

Спектральная плотность мощности ЧМ колебания ввиду нестационарности (3.97) легче всего получить не путём вычисления усреднённой корреляционной функции а путём сопоставления с процессом (3.97) стационарного случайного процесса (3.96), у которого спектр средней мощности такой же, как усреднённый во времени спектр средней мощности

процесса Усреднённая СПМ такого процесса ибо коэффициент передачи по мощности идеального интегратора равен . С учётом сказанного результаты для ЧМ следуют из результатов для ФМ, если в них заменить на При этом заменяется на и считается, что этот интеграл существует.

Рассмотрим теперь особенности спектров средней мощности при цифровой модуляции (манипуляции) гармонической несущей частоты синхронным двоичным случайным процессом. Спектр при АМ определяется, очевидно, так же, как при модуляции непрерывным случайным процессом. Если в (3.92) считать, что это синхронный двоичный случайный процесс с корреляционной функцией и (См. гл. 2), а то усреднённая ФК

а соответствующий спектр средней мощности на положительных частотах

Графики, соответствующие второй компоненте формулы (3.116) и формуле (3.117), показаны на рис. 3.36, а и б.

Для нахождения усреднённых корреляционной функции и спектра средней мощности при двоичной фазовой" модуляции (ЦФМ) воспользуемся результатами, полученными при цифровой АМ. Будем рассматривать ФМ с противоположными сигналами, представляющими наибольший практический интерес. При модулирующем двоичном сигнале рис. 3.37, а сигнал ФМ с амплитудой при манипуляции фазы несущей на угловую величину имеет вид рис. 3.37, б. Его можно представить как наложение двух сигналов АМ, модулированных взаимообратно (рис. 3.37, в и рис. 3.37,г), причём фазы несущих в них противоположны. Если модулирующий случайный процесс (рис. 3.37, а) стационарен, то усреднённые ФК и СПМ сигнала ФМ определяются учетверением соответствующих характеристик сигнала АМ, однако дискретная составляющая на частоте несущей при манипуляции на в спектре ФМ отсутствует. Поскольку при рассмотренной выше то где средняя мощность АМ сигнала при передаче 1. Полагая, что символы 1 и 0 передаются

Рис. 3.36. Усредненная во времени ФК боковых составляющих при АМ гармонической несущей случайным синхронным двоичным сигналом и усредненная во времени СПМ при АМ гармонической несущей случайным синхронным двоичным сигналом (б)

Рис. 3.37. Представление сигнала ЦФМ как суперпозиции двух сигналов ЦАМ

равновероятно, имеем для средней мощности при

Два рассмотренных АМ сигнала, модулированных взаимообратно, дают суммарную среднюю мощность боковых которую считаем равной Таким образом,

Графики (3.118) и (3.119) отображены на рис. 3.35, а и б, если ординаты увеличить в 4 раза.

При цифровой двоичной модуляции частоты с разрывом фазы (переключением цифровым первичным сигналом двух независимых генераторов с частотами усреднённые во времени ФК и СПМ ЧМ сигнала можно найти как сумму соответствующих характеристик двух АМ сигналов с несущими частотами

Анализ показывает, что при цифровой частотной модуляции с непрерывной фазой (ЧМ-НФ) спектр при определённых индексах модуляции заметно сужается по сравнению со случаем ЧМ с разрывом фазы. Для системы ММС (модуляция с минимальным сдвигом) спектр оказывается уже, чем спектр при ЦАМ (или ЦФМ).