Ãëàâíàÿ > Ðàçíîå > Òåîðèÿ ýëåêòðè÷åñêîé ñâÿçè
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

2.3. ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ ÑÈÃÍÀËΠ ÎÁÎÁÙ¨ÍÍÛÉ ÐßÄ ÔÓÐÜÅ

Âàæíûì ïîíÿòèåì â ïðîñòðàíñòâàõ Åâêëèäà, Ãèëüáåðòà è Õýììèíãà ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîñòü âåêòîðîâ. Äâà âåêòîðà õ è ó îðòîãîíàëüíû, åñëè

Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âåêòîðû ïðè âçàèìíî îðòîãîíàëüíû, òî îíè òàêæå ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Ïîýòîìó ñîâîêóïíîñòü îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå áàçèñà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.

Ïðåäñòàâèì íåïðåðûâíóþ (âî âðåìåíè è ïî óðîâíþ) ôóíêöèþ ñ èíòåãðèðóåìûì êâàäðàòîì â ïðîñòðàíñòâå ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó áàçèñíûõ ôóíêöèé Äëÿ êîòîðûõ

Âìåñòî (2.19) èìååì ïðåäñòàâëåíèå

ãäå — êîýôôèöèåíòû (êîîðäèíàòû) ðàçëîæåíèÿ â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå Ïðåäñòàâëåíèå (2.22) íàçûâàþò îáîáù¸ííûì ðÿäîì Ôóðüå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ íàéä¸ì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå 1

Ñ ó÷¸òîì (2.21) ñëåäóåò

Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíòû îáîáù¸ííîãî ðÿäà Ôóðüå ÿâëÿþòñÿ ïðîåêöèÿìè âåêòîðà õ íà îðòîãîíàëüíûå îñè (åäèíè÷íûå îðòû) . Ñ ó÷¸òîì (2.21) è (2.22) ìîæíî ïîëó÷èòü

(2.24) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ (ñì. íèæå). Ñ ó÷¸òîì îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â ïðîñòðàíñòâå ìîæíî íàõîäèòü ïî ôîðìóëàì (2.11) è (2.12).

Ïðåäñòàâèì òåïåðü ïðèáëèæ¸ííî ôóíêöèþ ðàçëîæåíèåì â óñå÷¸ííûé ðÿä ïî îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñíûì ôóíêöèÿì

è îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû ó, òàê, ÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü

Ñ ó÷¸òîì (2.23) ìîæíî çàïèñàòü

Ïîãðåøíîñòü ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå, åñëè ò.å. åñëè êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ â óñå÷¸ííîì ïðåäñòàâëåíèè (2.25) ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè îáîáù¸ííîãî ðÿäà

Ôóðüå. Îáîçíà÷èâ ìîæíî íàïèñàòü èñõîäÿ èç

èëè

Íåðàâåíñòâî (2.27) íàçûâàþò íåðàâåíñòâîì Áåññåëÿ. Ñ ðîñòîì è âåëè÷èíà óìåíüøàåòñÿ. Åñëè ïðè è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî ñèñòåìó áàçèñíûõ ôóíêöèé íàçûâàþò ïîëíîé. Èìåÿ ââèäó, òî ïðè ñïðàâåäëèâî (2.24), ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå Ãèëüáåðòà ñèñòåìà áàçèñíûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Ýòà ñèñòåìà ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ òàêæå çàìêíóòîé, òàê êàê äëÿ ëþáîé ôóíêöèè èç íåðàâåíñòâî (2.27) ïåðåõîäèò ïðè â ðàâåíñòâî.

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå