2.3. ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ ÑÈÃÍÀËΠ ÎÁÎÁÙ¨ÍÍÛÉ ÐßÄ ÔÓÐÜÅ
Âàæíûì ïîíÿòèåì â ïðîñòðàíñòâàõ Åâêëèäà, Ãèëüáåðòà è Õýììèíãà ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîñòü âåêòîðîâ. Äâà âåêòîðà õ è ó îðòîãîíàëüíû, åñëè
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âåêòîðû
ïðè
âçàèìíî îðòîãîíàëüíû, òî îíè òàêæå ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Ïîýòîìó ñîâîêóïíîñòü îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå áàçèñà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.
Ïðåäñòàâèì íåïðåðûâíóþ (âî âðåìåíè è ïî óðîâíþ) ôóíêöèþ
ñ èíòåãðèðóåìûì êâàäðàòîì â ïðîñòðàíñòâå
÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó áàçèñíûõ ôóíêöèé
Äëÿ êîòîðûõ
Âìåñòî (2.19) èìååì ïðåäñòàâëåíèå
ãäå
— êîýôôèöèåíòû (êîîðäèíàòû) ðàçëîæåíèÿ â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå
Ïðåäñòàâëåíèå (2.22) íàçûâàþò îáîáù¸ííûì ðÿäîì Ôóðüå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ
íàéä¸ì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå 1
Ñ ó÷¸òîì (2.21) ñëåäóåò
Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíòû îáîáù¸ííîãî ðÿäà Ôóðüå
ÿâëÿþòñÿ ïðîåêöèÿìè âåêòîðà õ íà îðòîãîíàëüíûå îñè (åäèíè÷íûå îðòû)
. Ñ ó÷¸òîì (2.21) è (2.22) ìîæíî ïîëó÷èòü
(2.24) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ (ñì. íèæå). Ñ ó÷¸òîì îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà
ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â ïðîñòðàíñòâå
ìîæíî íàõîäèòü ïî ôîðìóëàì (2.11) è (2.12).
Ïðåäñòàâèì òåïåðü ïðèáëèæ¸ííî ôóíêöèþ
ðàçëîæåíèåì â óñå÷¸ííûé ðÿä ïî îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñíûì ôóíêöèÿì
è îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû ó, òàê, ÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü
Ñ ó÷¸òîì (2.23) ìîæíî çàïèñàòü
Ïîãðåøíîñòü
ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå, åñëè
ò.å. åñëè êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ â óñå÷¸ííîì ïðåäñòàâëåíèè (2.25) ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè îáîáù¸ííîãî ðÿäà
Ôóðüå. Îáîçíà÷èâ
ìîæíî íàïèñàòü èñõîäÿ èç
èëè
Íåðàâåíñòâî (2.27) íàçûâàþò íåðàâåíñòâîì Áåññåëÿ. Ñ ðîñòîì è âåëè÷èíà
óìåíüøàåòñÿ. Åñëè ïðè è
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî ñèñòåìó áàçèñíûõ ôóíêöèé
íàçûâàþò ïîëíîé. Èìåÿ ââèäó, òî ïðè
ñïðàâåäëèâî (2.24), ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå Ãèëüáåðòà ñèñòåìà áàçèñíûõ ôóíêöèé
ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé. Ýòà ñèñòåìà ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ òàêæå çàìêíóòîé, òàê êàê äëÿ ëþáîé ôóíêöèè
èç
íåðàâåíñòâî (2.27) ïåðåõîäèò ïðè
â ðàâåíñòâî.