Главная > Математика > Интегральные инварианты
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Первые интегралы.

28. Как известно, первым интегралом системы (1) называют функцию и обладающую следующим свойством: если заменить в ней их выражениями через соответствующими любой траектории, то функция и полученная таким образом, обращается в постоянную. Эти первые интегралы являются решениями линейного диференциального уравнения в частных производных первого порядка:

Представим себе, что уравнения (1) проинтегрированы и зависимые переменные выражены как функции времени и начальных значений при именно, пусть

если эти уравнения разрешить относительно то последние величин выразятся в виде функций от которые и будут, очевидно, первыми интегралами. Таким путем получается система первых интегралов, очевидно, независимых, т. е. таких, которые не связаны никаким соотношением, тождественным относительно

Ясно, что любая функция первых интегралов является сама первым интегралом. И обратно, если — некоторый первый интеграл, то его численное значение для любой траектории равно, в силу основного свойства первых интегралов, значению

Полный диференциал любой функции и от может быть, очевидно, представлен в форме

Для того чтобы и было первым интегралом, необходимо и достаточно, чтобы коэфициент тождественно равнялся нулю; это легко доказать непосредственно; в этом можно также убедиться, заметив, что представляет собой не что иное, как левую часть уравнения (2).

Следовательно, диференциал любого первого интеграла представляет собой линейную комбинацию линейных диференциальных форм

и обратно, каждая из этих форм является линейной комбинацией диференциалов данных независимых первых интегралов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление